Aukštoji matematika - matricos ir determinantai

Matricos ir determinantai Matricos sąvoka. Matricos rūšys. Matrica – stačiakampė lentelė, kurioje į m eilučių ir n stulpelių surašyta mn skaičių. a11 a12 .... a1n a21 a22 .... a2n ............................. am1 am2 .... amn Skiriasi tik skliaustai. Gali būti ....... arba ........ Matricos elementai- tai skaičiai, surašyti matricoje. Matricos elemento aij pirmasis indeksas i nurodo eilutę, o j – stulpelį, kuriame yra elementas. Formato matrica – kai norima pabrėžti, kad matrica A sudaryta iš m eilučių ir n stulpelių. Tai rašoma A3x4. Matricos formatas žymimas t. Matricos eilutė – tai matrica, sudaryta iš vienos eilutės. A1xn=(a1 a2 ….. an) Matricos stulpelis – tai matrica, sudaryta iš vieno stulpelio. a1 Amx1= a2 ... am Matricų rūšys: 1. Kvadratinė matrica 1.1 Vienetinė matrica 1.2 Trikampė matrica 1.3 Simetrinė matrica 2. Nulinė matrica Kvadratinė matrica – tai matrica, kurios eilučių skaičius lygus stulpelių skaičiui. a11 a12 .... a1n a21 a22 .... a2n Ji žymima An arba ............................. an1 an2 .... ann Pagrindinę matricos įstrižainę sudaro kvadratinės matricos elementai a11, a22, .... ann. Šalutinę matricos įstrižainę sudaro kvadratinės matricos elementai an1, an-1,2, .... a1n. Vienetinė matrica – tai kvadratinė matrica, kurios pagrindinės įstrižainės elementai yra vienetai, o visi kiti elementai nuliai. 1 0 .... 0 Ji žymima E arba En. E = 0 1 .... 0 ..................... 0 0 .... 1 Trikampė matrica – tai kvadratinė matrica, kurios visi elementai, esantys vienoje pagrindinės įstrižainės pusėje, yra nuliai. Simetrinė matrica – tai kvadratinė matrica, kurioje bet kurie du elementai, simetriškai išdėstyti pagrindinės įstrižainės atžvilgiu, yra lygūs. 1 3 4 (aij = aji). PVZ. 3 2 0 4 0 7 Nulinė matrica – bet kokio formato matrica, kurioje visi elementai yra nuliai. Dvi matricos vadinamos lygiomis, jei jų formatai vienodi ir jų atitinkami elementai yra lygūs. A=B t (A)= t(B) Transponuota matrica – tai matrica, gauta iš matricos A, sukeitus jos eilutes ir stulpelius vietomis. Ji žymima AT a11 a12 .... a1n a11 a21 .... am1 a21 a22 .... a2n a12 a22 .... am2 A= ............................. AT= ............................ am1 am2 .... amn a1n a2n ... amn Transponuojant eilutę arba stulpelį : a1 A= a2 AT =( a1 a2 … an) … an Veiksmai su matricomis. Matricas galima: 1. sudėti 2. atimti 3. dauginti iš skaičiaus 4. sudauginti 5. kelti laipsniu Matricų sudėtis ir atimtis – sudėti ir atimti galima tik to paties formato matricas. Reikia sudėti atitinkamus elementus. Matricos daugyba iš skaičiaus – skaičiaus  ir matricos A=(aij) sandauga vadinama matrica B=(bij), kurios kiekvienas elementas yra skaičiaus  ir atitinkamo matricos A elemento sandauga. Dauginant matricą iš skaičiaus, reikia iš to skaičiaus padauginti kiekvieną matricos elementą. Matricas sudauginti galima tik tada, kai pirmosios matricos stulpelių skaičius lygus antrosios matricos eilučių skaičiui. t.y, kai matricos suderintos. Pakelti matricą laipsniu, tai reiškia tą matricą reikia padauginti pačią iš savęs tiek kartų, koks yra laipsnio rodiklis. Priešinga matrica – matrica, kurios elementai skiriasi nuo matricos A elementų tik ženklu. Ji žymima –A. ją galima gauti padauginus matricą iš (-1). Komutuojančios matricos – kai matricos A ir B yra tokios, kad AB=BA. Determinantai Determinantas – tai skaičius, kuris pagal tam tikrą taisyklę priskiriamas kvadratinei matricai. Deterimantų savybės: 1. determinantas nesikeičia, jei jo eilutes pakeičiame stulpeliais. 2. determinantas, turintis eilutę (stulpelį), sudarytą iš nulių, lygus nuliui. 3. sukeitus vietomis dvi eilutes (stulpelius), keičiasi determinanto ženklas. 4. jei kurios nors determinanto eulutės (stulpelio) elementai turi bendrą daugiklį, tai jį galima iškelti prieš determinanto ženklą. 5. determinantas, turintis dvi vienodas eilutes (stulpelius), lygus nuliui. 6. determinanto pakeitimo savybė 7. determinanto anuliavimo savybė – bet kurios determinanto eilutės ar stulpelio elementų ir kitos eilutės ar stulpelio atitinkamų elementų adjunktų sandaugų suma lygi nuliui. 8. determinantas nepasikeis, jei prie vienos jo eilutės (stulpelio) pridėsime kitos eilutės (stulpelio) atitinkamus elementus, padaugintus iš bet kurio skaičiaus. Determinanto elemento minoras – determinantas, kuris gaunamas išbraukus bet kurios eilės determinante eilutę ar stulpelį. Elemento adjunktas – minoras Mij, padaugintas iš (-1)i+j Ketvirtos eilės determinantas – skaičius, gautas sudėjus bet kurios determinanto eilutės ar stulpelio elementų ir tų elementų adjunktų sandaugas. Atvirkštinė matrica Atvirkštinės matricos – kai jų sandauga yra vienetinė matrica. T.y. AB=BA=E Atvirkštinė matrica A žymima Aˉ¹ Matricos atvirkštinė matrica yra Aˉ¹=… Reguliarioji (neišsigimusi) matrica – matrica, kurios determinantas |A| nelygu 0 Singuliarioji (išsigimusi) – kai |A| = 0. Kiekviena reguliarioji matrica turi tik vieną atvirkštinę matricą. Atvirkštinę matricą turi tik kvadratinės matrcijos, kurių determinantas nelygus nuliui (reguliarioji). Tiesinių lygčių sistemos Sąvokos ir sistemos užrašymas matricine lygtimi Tiesinė lygtis - .... Tiesinės lygties sprendinys – skaičių visuma, kai a1 b1+a2 b2+an bn=b yra tapatybė. Tiesinių lygčių sistema – Homogeninė tiesinių lygčių sistema – jeigu visi laisvieji nariai lygūs nuliui. Nehomogeninė – jei bent vienas narys nelygus nuliui. Išplėstoji tiesinių lygčių sistemos matrica – ta, kuri gaunama pagrindinę sistemos matricą pakildžius laisvųjų narių stulpeliu. Suderinta tiesinių lygčių sistema – jei egzistuoja bent vienas šios sistemos sprendinys. Nesuderinta –jei sistema neturi nė vieno sprendinio. Apibrėžta tiesinių lygčių sistema – jei ji turi vienintelį sprendinį. Neapibrėžta – jei turi be galo daug sprendinių. Ekvivalenčios lygčių sistemos – tai dvi tiesinių lygčių sistemos su tais pačiais nežinomaisiais jeigu jų sprendiniai vienodi. Elementarūs lygčių sistemos pertvarkiai – tokie pertvarkiai, kuriuos atlikus, gaunamos ekvivalenčios lygčių sistemos. Pertvrarkiai: 1. dviejų lygčių sukeitimas vietomis 2. lygties kairiosios ir dešiniosios pusės dauginimas iš nelygaus nuliui skaičiaus 3. vienos sistemos lygties, padaugintos iš skaičiaus, pridėjimas prie kitos tos pačios sistemos lygties. Bazinės lygtys – tiesinių lygčių sistemos lygtys, kurių koeficientai sudaro sistemos išplėstosios matricos bazines eilutes. Nebazinės lygtys – visos kitos sistemos lygtys. Baziniai nežinomieji – tiesinių lygčių sistemos nežinomieji, kurių koeficientai sudaro sistemos matricos bazinius stulpelius. Laisvieji nežinomieji – visi kiti nežinomieji. Lygtį pašalinti iš sistemos galima tada, kai kuri nors sistemos lygtis yra kitų sistemos lygčių tiesinis darinys. Nehomogenines tiesinių lygčių sistemas galima spręsti atvirkštinės matricos metodu. Tiesinių nehomogeninių ir homogeninių lygčių sistemų tyrimas. Suderinta tiesinių lygčių sistema – tada kai sistemos matricos rangas yra lygus sistemos išplėstosios matricos rangui. T.y. r (A) =(A/B) Homogeninių tiesinių lygčių sistema visada yra suderinta (visada turi nulinį sprendinį), nes nulinis laisvųjų narių stulpelis rango nekeičia. Gauso metodas Tai nežinomųjų nuoseklus eliminavimo metodas. Nežinomuosius eliminuojame keletą kartų elementariai pertvarkydami lygčių sistemą. Šiuo metodu galima spręsti bet kokią tiesinių lygčių sistemą. Galimi gaunami atvejai, sprendžiant sistemą: Nesuderinta sistema – jei pertvarkydami gauname lygtį, kuriai netinka jokios nežinomųjų reikšmės, tai lygčių sistema sprendinių neturi. Apibrėžta sistema – kai sistema turi tiek lygčių, kiek nežinomųjų. Neapibrėžta sistema – kai lygčių sistemoje yra laisvųjų nežinomųjų, o kiti nežinomieji – baziniai. Tiesinio optimizavimo uždavinys ir jo grafinis sprendimas Optimizavimo uždavinys formuluojamas taip: Duota funkcija z=f (x1, x2...xn) (ji vadinama tikslo funkcija) ir sąlygos (apribojimų sistema), kurias turi tenkinti nežinomieji. Reikia rasti nežinomųjų reikšmes, su kuriomis tikslo funkcijos reikšmė būtų maksimali arba minimali. Leistinasis sprendimas (leistinasis planas) – n-matis taškas x=(x1, x2, ...xn) tenkinantis apribojimų sistemą. Optimalusis sprendinys (optimalusis planas) – leistinas sprendinys, suteikiantis funkcijai maksimalią arba minimalią reikšmę. Optimumas (ekstremumas) – atitinkama funkcijos reikšmė f(x*1. x*2, ...x*n) Jei tikslo funkcija z ir funkcijos, įeinančios į apribojimų sistemą, yra tiesinės – turime tiesinio optimizavimo arba tiesinio programavimo uždavinį. Tiesinio optimizavimo uždaviniai gali būti trijų tipų: Standartinis ir kanoninis uždaviniai yra atskiri bendrojo tiesinio optimizavimo uždavinio atvejai. Visi trys uždavinio tipai yra ekvivalentūs, nes vieno tipo uždavinį galima pakeisti kito tipo uždaviniu. Leistinų sprendinių aibė – apribojimų sistemos sprendinių aibė. Tiesinio optimizavimo uždavinio grafinio sprendimo planas: 1. nubrėžiamos tiesės, gautos apribojimų sistemoje nelygybes pakeitus lygybėmis. 2. pagal gautų nelygybių ženklus nustatoma leistinųjų sprendinių sritis. 3. nubrėžiamas vektorius ir viena iš tiesių. 4. tiesė stumiama vektoriaus kol ji turi nors vieną bendrą tašką. 5. randamos ekstremumo taško koordinatės ir funkcijos reikšmė šiame taške. Vektorinė algebra ir analizinė geometrija Vektorių sąvokos ir veiksmai Vektorius – tai kryptinė atkarpa, kurioje nurodyta kryptis. Vektoriaus AB ilgis arba modulis – atstumas tarp taškų A ir B. Nulinis vektorius – kurio pradžios taškas sutampa su galo tašku. Kolinearūs vektoriai – vienoje tiesėje arba lygiagrečiose tiesėse esantys vektoriai. Komplanarūs vektoriai – lygiagretūs vienai plokštumai. Lygūs vektoriai – kai jie vienodo ilgio, kolinearūs, ir vienodų krypčių. Priešingi vektoriai – du kolinearūs vienodo ilgio, bet priešingų krypčių vektoriai. Tiesiniai vektorių veiksmai – tai vektorių suma (skirtumą) dauginame iš skaičiaus. Ortas arba vienetinis vektorius – vektorius, kurio ilgis lygus vienetui, o kryptis sutampa su duotojo vektoriaus a kryptimi. Vektoriaus a ir skaičiaus λ nelygu 0 sandauga vadinamas vektorius b, kolinearaus vektoriui a. jo ilgis |b|=|λ|x|a|, o kryptis ta pati, kaip ir vektoriaus a, kai λ>0, ir priešinga kai λN teisinga lygybė |xn – a|1, ir diverguoja, kai s1. Kai L=1, eilut5 gali ir konverguoti ir diverguoti. 5. Koši radikalinis požymis – jeigu eilutės nariai yra teigiami ir egzistuoja riba, tai 1) eilutė konvertuoja, kai L1. 6. Leibnico požymis Alternuojanti eilutė – Vienodo ženklo skaičiai Kintamųjų ženklų eilutė – eilutė, kurioje yra be galo daug teigiamų ir neigiamų narių. Eilutė konverguoja absoliučiai – jei konverguoja ir duotosios eilutės narių modulių sudaryta eilutė. Eilutė konverguoja reliatyviai – kai duotoji eilutė konverguoja, o jos narių modulių eilutė diverguoja. Neapibrėžtinai didėjančios funkcijos Tai funkcijos, kurių ribos tam tikrame taške arba begalybėje lygios begalybei. Nykstamosios funkcijos Žymimos ά (x), β(x). Nykstanti funkcija – kai x – a (arba kai x – begalybė), jeigu jos riba lygi nuliui. Nykstamųjų funkcijų savybės: 1. baigtinio skaičiaus nykstamųjų funkcijų suma yra nykstamoji funkcija 2. aprėžtosios ir nykstamosios funkcijų sandauga ura nykstamoji funkcija 3. dviejų nykstamųjų funkcijų sandauga yra nykstamoji funkcija. Funkcijų tolydumas ir trūkio taškai Funkcija y= f (x) vadinama tolydžia taške x0 έ D, jeigu ji apibrėžta šiame taške ir jo aplinkoje. Argumento pokytis – skirtumas x – x0 Funkcijos pokytis – skirtumas f (x) – f (x0). Tolydi taške funkcija – vadinama jeigu nykstamą argumento pokytį atitinka nykstamas funkcijos pokytis. ­Trūkio taškas – jei taške funkcija yra neapibrėžta arba netolydi. Pirmojo tipo trūkio taškas – jeigu jame egzistuoja baigtinės ribos iš kairės ir dešinės, bet jos nėra tarpusavyje lygios. Antrojo tipo trūkio taškas – kai bent viena vienpusė funkcijos riba taške neegzistuoja arba yra begalinė. Pašalinamojo trūkio taškas – jei f (x0-0)=f (x0+0) nelygu f (x0­)

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!