Elektros grandinės sąvokos ir dėsniai

I Pagrindinės sąvokos ir dėsniai. 1.1 Pagrindinės sąvokos. El. lauko stiprumas- vektorius,apibūdinantis lauką tam tikrame jo taške krūvį veikiančios jėgos požiūriu. Jis lygus jėgai, kurią laukas veikia tame taške esantį taškinį teigiamą vienetinį krūvį. Kryptis sutampa su teigiamąjį krūvį veikiančios jėgos kryptimi. E=Q*E, [V/m]. Potencialas-skaliarinis dydis,apibūdinantis lauką energiniu požiūriu. Jis lygus potencinei energijai, kurią turi teigiamas vienetinis krūvis,esantis tiriamajam lauko taške. V=Wp/Q, [V]. Įtampa- kreivinis elektrinio lauko stiprumo integralas išilgai kelio tarp bet kurių dviejų taškų a ir b. Uab=, [V]. Srovė- kiekybinė kryptingo krūvių judėjimo intensyvumo charakteristika. Ji lygi pro paviršių S per sekundę praėjusio krūvio kiekiui. Kryptis sutampa su teigiamųjų krūvių judėjimo kryptimi. I=dQ/dt, [A]. Galia- elektros energijos generavimo ar jos keitimo kitomis energijos rūšimis greitis. P = UI =I2R =U2G, [W]. 1.2 El. grandinės, jų struktūra, šakos, mazgai, jungimo būdai. Šaltiniai ir imtuvai.El. grandinė – tai el. šaltinių ir el imtuvų visuma, sujungta laidais, kurioje teka srovė. Grandinės būna: 1) paprastos (teka viena ir ta pati srovė); 2) sudėtingos (teka daugiau nei viena srovė, jose yra 2 ar daugiau mazgų). Šaka- tai grandinės dalis, susidedanti iš nuosekliai sujungtų elementų (teka viena srovė). Mazgas- vieta, kur kertasi 3 ir daugiau šakų. Grandinėje elementai jungiami nuosekliai (tada jais teka ta pati srovė) ir lygiagrečiai (jų įtampa yra ta pati). Kontūras- tai uždaras kelias, susidedantis iš grandinės šakų ir mazgų. El. energijos šaltiniai- įrenginiai, kur kitų rūšių energija verčiama į el. energiją. Šaltiniai kuria energiją, imtuvai ją vartoja. 1.3.1 Idealus EVJ šaltinis. Idealus EVJ šaltinis- tai EVJ šaltinis, kurio varža lygi 0.Tokio šaltinio gnybtų įtampa nepriklauso nuo jo srovės ir visuomet lygi šio šaltinio EVJ, t.y. jo voltamperinė charakteristika yra tiesė, lygiagreti srovės ašiai. 1.3.2 Idealus srovės šaltinis. Srovės šaltinis J yra idealus, jei jo vidinė varža yra be galo didelė, o srovė nepriklauso nuo prijungtos grandinės parametrų, t.y. jo voltamperinė charakteristika yra tiesė, lygiagreti įtampos ašiai. 1.3.3 Realus EVJ šaltinis. Realus EVJ šaltinis turi tam tikrą vidinę varžą. Realaus EVJ šaltinio voltamperinė charakteristika rodo, kad didėjant šaltinio srovei, jo gnybtų įtampa Uab mažėja. 1.3.4 Realus srovės šaltinis. Realus srovės šaltinis susideda iš idealaus šaltinio ir varžos Ri. Jo voltamperinė charakteristika rodo, kad didėjant įtampai, šaltinio srovė mažėja. 1.3.6 EVJ šaltinio keitimas srovės šaltiniu ir atvirkščiai Elektros grandinėje įtampos šaltinį galima pakeisti jam ekvivalenčiu srovės šaltiniu: J=E/Ri, ir atvirkščiai – srovės šaltinį galima pakeisti jam ekvivalenčiu įtampos šaltiniu: E=JRi. Bet kokioje grandinėje įtampos šaltinio pakeitimas srovės šaltiniu arba srovės šaltinio pakeitimas įtampos šaltiniu yra ekvivalentinis, kai nepakinta likusios grandinės (kurios neliečia pakeitimas) režimas. Vadinasi, taip keičiant šaltinius vieną kitu, turi nepasikeisti šaltinio gnybtų įtampa Uab ir jo tiekiama srovė I. Ekvivalentinio pakeitimo atveju pakinta tik srovė šaltinio varžoje R i. 1.4 Varža. Omo dėsnis. Omo dėsnis šakai su EVJ šaltiniais. Varža- tai savybė pasipriešinti krūvių judėjimui. Grandinės dalies, kur nėra EVJ šaltinių, varža R lygi įtampos kritimo U toje grandinės dalyje santykiui su tos grandinės dalies srove I: R=U/I, [] Omo dėsnis: Laidininko srovė I yra tiesiog proporcinga įtampos kritimui U ir atvirkščiai proporcinga varžai R. I=U/R=GU. Kai įtampos ir srovės kryptys sutampa rašomas “+”, kai nesutampa “-”. Omo dėsnis su EVJ šaltiniais: I=; čia Rab- grandinės dalies a-b varža, I- tos grandinės dalies srovė, nukreipta iš taško a į tašką b, Uab- tos grandinės dalies įtampa, atskaityta srovės kryptimi, - grandinės dalies EVJ, esančių tarp taškų a ir b algebrinė suma. Sumuojant EVJ, kurių kryptys sutampa su srovės kryptim, rašomas “+”, kurių nesutampa “-”. 1.5 Kirchhofo dėsnis srovėms. Tai I Kirchhofo dėsnis (taikomas grandinės mazgams) : bet kokio el grandinės mazgo n srovių algebrinė suma lygi nuliui, t.y. . Arba: į grandinės mazgą įtekančių srovių suma lygi iš jo ištekančių srovių sumai. 1.6 Kirchhofo dėsnis įtampoms. Tai II Kirchhofo dėsnis (taikomas grandinės kontūrams) : bet kokiame uždarame el grandinės kontūre K įtampų kritimų algebrinė suma lygi EVJ algebrinei sumai, t.y. . Arba: bet kokiame el grandinės kontūre K įtampų algebrinė suma lygi nuliui, t.y.:. Įtampos kritimai ir EVJ rašomi su “+” jei kryptis varžoje sutampa su kontūro apėjimo kryptim, jei kryptys priešingos, rašom su “-”. II Bendrieji grandinių analizės metodai. 2.1 Kirchhofo lygčių metodas. Remiantis Kirchhofo dėsniais galima atlikti bet kokios grandinės analizę. Metodo tvarka: 1) Laisvai parenkamos ir pažymimos srovių kryptys grandinės šakose. 2) Užrašomos lygtys pagal I Kirchhofo dėsnį. Jei grandinėje yra m mazgų tai pagal šį dėsnį galima užrašyti m-1 nepriklausomą lygtį. 3) Parenkami nepriklausomi kontūrai ir pažymimos jų laisvai pasirinktos apėjimo kryptys. Į parinktus kontūrus neturi įeiti šakos su srovės šaltiniais. Kontūrai gaunami nepriklausomi, jei į kiekvieną naujai parinktą kontūrą įeina bent vienas grandinės elementas, kurio nebuvo anksčiau parinktuose kontūruose. 4) Parinktiems kontūrams užrašomos lygtys pagal II Kirchhofo dėsnį. Jei grandinėje yra s šakų be srovės šaltinių, tai pagal II Kirchhofo dėsnį galima užrašyti s-(m-1) nepriklausomą lygtį. 2.2 Mazgų potencialų metodas. Lygčių skaičius yra m-1 (m-mazgų skaičius). Metodo tvarka: 1) Sunumeruojami grandinės mazgai. Vieno jos mazgo potencialas (pvz. m-ojo) laikomas lygiu nuliui (Vm=0). 2) Užrašoma lygčių sistema. 3) Apskaičiuojami mazgų laidžiai. Laidis Gjj – n-ojo mazgo laidis, lygus prie jo prijungtų šakų laidžių sumai. 4) Apskaičiuojami mazgų abipusiai laidžiai. Laidis Gij – i-ojo ir j-ojo (ij)mazgų abipusis laidis, lygus šiuos mazgus jungiančių šakų laidžių sumai su “-” ženklu. 5) Apskaičiuojamos prie mazgų prijungtų šakų EVJ ir laidžių sandaugų algebrinės sumos . Sumuojant prie i-ojo mazgo prijungtos šakos EVJ ir laidumo sandauga užrašoma su “+”, kai EVJ nukreipta į mazgą. 6) Apskaičiuojamos prie mazgų prijungtų srovės šaltinių srovių algebrinės sumos . Sumuojant prie i-ojo mazgo prijungtų srovės šaltinių sroves, srovė užrašoma su “+”, kai ji nukreipta į tą mazgą. 7) Apskaičiuotos sumų ir mazgų laidžių reikšmės įrašomos į lygčių sistemą. Ją išsprendus, randami mazgų potencialai V1, V2,…,Vm-1. 8) Pagal Omo dėsnį apskaičiuojamos srovės. 2.3 Kontūrų srovių metodas. Sprendžiame s-(m-1) lygčių sistemą. Metodo tvarka: 1) Parenkami nepriklausomi kontūrai ir pažymimos laisvai parinktos jų kontūrų srovių kryptys. Jei grandinėje yra s šakų be srovės šaltinių ir Q šakų su srovės šaltiniais, tai grandinė turi s-(m-1)+Q kontūrų srovių. 2) Užrašoma lygčių sistema. 3) Apskaičiuojamos kontūrų EVJ. K-ojo kontūro EVJ EKK lygi šio kontūro EVJ algebrinei sumai. Sumuojant EVJ užrašoma su “+”, jei jos kryptis sutampa su kontūro srovės kryptim. Priešingu atveju užrašoma su “-”. 4) Apskaičiuojamos kontūrų varžos. Varža RKK- K-ojo kontūro varža, lygi visų šiame kontūre esančių varžų sumai. 5) Apskaičiuojamos kontūrų bendros varžos. Varža RNK=RKN. N-ojo ir K-ojo kontūrų bendroji varža yra lygi šiems kontūrams bendros grandinės dalies varžai, užrašytai su “+” arba su “-”. Kai kontūrams bendroje grandinės dalyje kontūrų srovės IN ir IK yra tokios pat krypties, rašomas “+”, kai jos priešingų krypčių, rašomas “-”. 6) Apskaičiuotos kontūrų EVJ, kontūrų varžų ir kontūrų bendrųjų varžų reikšmės įrašomos į lygčių sistemą. Ją išsprendus, randamos kontūrų srovės II, III,...,IN. 7) Kontūrų sroves algebriškai sumuojant, apskaičiuojamos grandinės šakų srovės. III Pagrindinės el grandinių savybės. 3.1 Tiesiškumas ir superpozicija. Keičiant tiesinės el grandinės bet kurios m šakos EVJ Em arba varžą Rm, kitų tos grandinės šakų n ir p srovės susietos tiesine priklausomybe In=a+bIp; čia a ir b – pastovūs koeficientai. Analogiškos priklausomybės gali galioti įtampoms arba įtampai ir srovei. Tiesinių priklausomybių koeficientai gali būti apskaičiuoti ir eksperimento rezultatų ar nustatyti remiantis grandinės schema ir jos parametrais. Omo dėsnis- tiesiškumo pagrindas. Turint sudėtingą el grandinę su keliais šaltiniais, tai srovę kiekvienoj šakoj galime išreikšti kaip algebrinę sumą dedamųjų, kurias kuria kiekvienas iš šaltinių atskirai. 3.2 Superpozicijos metodas. Superpozicijos principu pagrįstas superpozicijos metodas. Norint šiuo metodu apskaičiuoti srovę p-oje grandinės šakoje Ip reikia: pašalinti iš grandinės visus šaltinius, išskyrus pirmąjį (E1 ar J1), paliekant jų varžas, ir apskaičiuoti srovės p-oje šakoje dedamąją I1p, kurią sukuria pirmasis šaltinis. Toliau grandinėje reikia palikti tik antrą šaltinį ir rasti nagrinėjamoj šakoj jo sukurtą srovės dedamąją I2p ir t.t. Taip reikia apskaičiuoti visas srovės Ip dedamąsias I1p, I2p,... Jas susumavus (atsižvelgiant į kryptis) gaunama srovė Ip. 3.3 Aktyviojo dvipolio teorema. Grandinė ar jos dalis, turinti 2 išorinius gnybtus, vadinama dvipoliu. Dvipolis, į kurį įeina energijos šaltiniai, vadinamas aktyviuoju. Šaltinių neturintis dvipolis, vadinamas pasyviuoju. Teorema: Aktyvųjį dvipolį galima pakeisti ekvivalentiniu EVJ šaltiniu, kurio EVJ lygi dvipolio tuščios eigos įtampai, o varža – dvipolio vidinei varžai. Atlikus tokį pakeitimą, grandinės, prijungtos prie dvipolio gnybtų, režimas nepasikeičia. Aktyviojo dvipolio vidaus varža- tai varža tarp pasyviojo dvipolio gnybtų, kuris gaunamas visus jo vidaus šaltinius pakeitus jų vidaus varžomis. 3.4 Ekvivalentinio generatoriaus metodas. Šis metodas pagrįstas aktyviojo dvipolio teorema. Jį patogu naudoti, kai reikia apskaičiuoti sudėtingos grandinės dalies (pvz. vienos šakos) režimą, arba kurį nors jos parametrą. Skaičiuojant srovę kurioj nors grandinės šakoje: 1) Išskiriama ta šaka arba jos dalis. Likusi grandinės dalis laikoma aktyviuoju dvipoliu. 2) Laisvai parenkama ir pažymima ieškomosios srovės Ip kryptis. 3) Aktyvusis dvipolis pakeičiamas ekvivalentiniu EVJ šaltiniu, kurio EVJ E ir varža Ri. Patogu šios EVJ kryptį parinkti atsižvelgiant į anksčiau parinktą srovės Ip kryptį. 4) Apskaičiuojama ekvivalentinio šaltinio EVJ E. Tam kuriuo nors grandinių analizės metodu apskaičiuojama aktyviojo dvipolio tuščiosios eigos įtampa Uab0. Tuščios eigos įtampos kryptis turi atitikti anksčiau parinktą ekvivalentinio šaltinio EVJ E kryptį. 5) Apskaičiuojama ekvivalentinio šaltinio varža Ri. Tam iš aktyviojo dvipolio pašalinami visi šaltiniai, paliekant jų varžas, t.y. aktyvus dvipolis pakeičiamas pasyviuoju, ir apskaičiuojama jo varža Rab. 6) Grandinėje su ekvivalentiniu šaltiniu apskaičiuojama srovė Ip. 3.5 Galių balansas. Šaltiniai kuria el energiją, o imtuvai ją naudoja. Varžoje el energija vartojama. Šaltinis el energiją gali generuoti arba vartoti. Tai priklauso nuo srovės krypties. Kai šaltinyje EVJ ir srovės kryptis sutampa, šaltinis el energiją generuoja, o kai srovės ir EVJ kryptys priešingos, šaltinis veiki imtuvo rėžimu, t.y. el energiją vartoja. Galių balansas: Sukurta el energijos galia turi būti lygi sunaudotai el energijos galiai. ; čia PE – EVJ šaltinio galia, PJ – srovės šaltinio galia; PR – galia varžoje. Arba: .Sumuojant šaltinio, veikiančio imtuvo rėžimu, galia užrašoma su “-”. Sumuojant sandauga EI rašoma su “+”, jei šaltinio EVJ E ir jo srovės I kryptys sutampa, o jei priešingos su “-”. Pakeitus EVJ šaltinį jam ekvivalenčiu srovės šaltiniu ar srovės šaltinį- jam ekvivalenčiu EVJ šaltiniu, šaltinio galia pakinta, bet galių balansas turi būti. 3.6 Apgręžiamumo savybė. Jei el grandinėje yra idealus vienintelis EVJ šaltinis k-oje šakoje Ek, kuris m-oje šakoje kuria srovę Im, tai tas pats šaltinis Ek, perkeltas į m-ąją šaką taip, kad jo kryptis sutaptų su anksčiau šia šaka tekėjusios srovės Im kryptimi, k-oje šakoje kurs srovę Ik=Im. Srovės Ik kryptis sutaps su anksčiau toje šakoje buvusios EVJ kryptimi. Grandinės, kurioms galioja apgręžiamumo savybė, vadinamos apgręžiamomis. IV Topologiniai grandinių analizės metodai. 4.1 Grandinių orientuotieji grafai. El grandinės grafas- tai grandinės atvaizdas, kuriame grandinės šakos pakeistos linijomis- grafo šakomis, o mazgai- grafo mazgais. Dažnai linijomis atvaizduojamos tik baigtinės varžos šakos. Orientuotas- tai grafas, kuriame kiekvienoje šakoje nurodyta kryptis. Grafo šakos kryptis parenkama, kad sutaptų su tos šakos srovės (ar įtampos) kryptimi. Grafo medis-subgrafas, į kurį įeina visi mazgai ir nėra jokio uždaro kontūro. Papildinys- šakų visuma, kuri papildo medį iki pilno grafo. Papildinio šakų skaičius sp lygus grafo (grandinės) nepriklausomų kontūrų skaičiui N: sp=N=s-(m-1); čia s- grafo šakų skaičius. Pagrindinis kontūras- tai grafo kontūras, kurį sudaro viena ar daugiau medžio šakų ir tik viena jo papildinio šaka. Pagr. kontūrai yra nepriklausomi. Jų skaičius lygus medžio papildinio šakų skaičiui sp. Kirtimas grafą padalija į 2 dalis. Pagrindinis kirtimas kerta vieną ar daugiau papildinio šakų ir būtinai tik vieną medžio šaką. 4.2 Grandinių topologinės matricos ir ryšys tarp jų. Orientuotą galima užrašyti topologine matrica. Mazgų matrica.[A] Tai matrica, kurios stulpelių skaičius lygus grafo šakų skaičiui, o eilučių yra viena mažiau, nei yra mazgų , t.y. (m-1)  s. Matricos elementas, jei šaka prieina prie mazgo ir jos kryptis iš mazgo, yra “+1”, jei į mazgą “-1”, jei šaka neprieina prie mazgo “0”. Kontūrų matrica [B] Tai matrica, kurios stulpelių skaičius lygus šakų skaičiui, o eilučių – nepriklausomų kontūrų skaičiui, t.y. s-(m-1)  s. Matricos elementas, jei šaka įeina į kontūrą ir kryptis sutampa su kontūro apėjimo kryptim, yra “+1”, jei kryptis nesutampa su kontūro apėjimo kryptim “-1”, jei šaka neįeina į kontūrą “0”. Kontūro apėjimo kryptis – papildinio šakos kryptis. [B]=[B1 ¦ 1]. Kirtimų matrica [Q] Tai matrica, kurios stulpelių skaičius lygus grafo šakų skaičiui, o eilučių yra viena mažiau, nei yra kirtimų , t.y. (m-1)  s. Matricos elementas, jei šaka įeina į kirtimą ir kryptis sutampa, yra “+1”, jei nesutampa “-1”, jei šaka neįeina į kirtimą “0”. Kirtimai numeruojami pagal medžio šakas. Kirtimo kryptis parodo, ar šaka nukreipta į uždarą paviršių, ar iš uždaro paviršiaus. [Q]=[1 ¦ Q2]. Ryšys: Topolog. Matricoms galioja lygybės: [A] [B]T= [0]; [Q] [B]T= [0]; čia [B]T- transponuota kontūrų matrica. Jei grandinės grafo kirtimų matrica ir kontūrų matrica sudaryta tam pačiam grafo medžiui, tai: [B1] = -[Q2]T. Taip pat kirtimų, kontūrų ir mazgų matricų submatricom galioja: [Q2] = [A1] -1 [A2]; [B1] = -[A2]T ( [A1]-1 )T; čia [A1] –1- submatrica, atvirkštinė submatricai [A1]. 4.3 Omo ir Kirchhofo dėsniai topologinėj formoj. Varžų matricos [R] pagrindinėj įstrižainėj rašomos šakų varžos, visi kiti elementai lygūs 0. Ji visada kvadratinė, eilė lygi grandinės šakų be srovės šaltinių skaičiui s. [G]=[R] –1. EVJ [E] ir srovės šaltinių matricos [J], tai matricos stulpeliai, kurių eilučių skaičius lygus grafo šakų skaičiui. Omo dėsnis: [U] +[E] = [R] ([I]+[J]) arba [I] +[J] = [G] ([U]+[E]); čia [G], [E], [J], [R] – laidžių, EVJ ir srovės šaltinių, varžų matricos; [U], [I] – grandinės įtampų ir srovių matricos stulpeliai. I Kirchhofo dėsnis: [A] [I] = [0] arba [A] [I ’] = [A] [J]. Mazgų matrica [A] yra grandinės I Kirchhofo dėsnio lygčių koeficientų matrica. [I] – šakų srovių matrica stulpelis, [I ‘] – srovių varžose matrica stulpelis. Šakos srovė matricoje [I] rašoma su “+”, jei jos kryptis sutampa su atitinkamos grafo šakos kryptimi. Priešingu atveju prieš srovę rašomas “-”. II Kirchhofo dėsnis: [B] [U]=[0] arba [B] [R] [I ‘] = [B] [E]. Kontūrų matrica [B]- tai grandinės kontūrų II Kirchhofo lygčių koeficientų matrica, kai įtampų kryptys sutampa su grafo šakų kryptimi. [U]- šakų įtampų matrica stulpelis. Įtampa čia rašoma su “+”, jei jos kryptis sutampa su grafo šakos kryptimi. 4.4 Mazgų potencialų metodas topologinėj formoj. Grandinės šakos įtampa lygi mazgų, tarp kurių ši šaka prijungta, potencialų skirtumui. Tokias priklausomybes kiekvienai grandinės šakai, kai kuris nors potencialas lygus 0, užrašome matricomis: [A]T [V] = [U]. Ši lygtis sieja grandinės mazgų potencialus ir jos šakų įtampas. Ją įrašom į Omo dėsnio lygtį ir viską padauginam iš mazgų matricos [A]: [A] ([I]+[J]) = [A] [G] ([A]T [V]+[E]); kadangi [A] [I]=0, tai [A][G][A]T [V] = [A] ([J] - [G][E]). Joje [G M]=[A][G][A]T – tai grandinės mazgų laidžių matrica. O [J M] = [A] ([J] - [G][E]) – tai mazgų srovių matrica. Jos elementas lygus jį atitinkančio mazgo srovių algebrinei sumai. Srovės šaltinio srovė, nukreipta į mazgą, matricoje užrašoma su “+”. Sandauga [G] [E] yra srovės šaltinio, kuris gaunamas pakeitus EVJ šaltinį jam ekvivalenčiu srovės šaltiniu, srovė. Mazgų potencialų lygtis: [GM] [V] = [J M]. Ją išsprendę, galim rasti mazgų potencialų matricą [V]. 4.5 Kontūrų srovių metodas topologinėj formoj. Kontūrų srovės teka grafo pagrindiniuose kontūruose. Kontūro srovės kryptį parenkam taip, kad ji sutaptų su papildinio šakos kryptimi. Tada grandinės šakų, atitinkančių medžio papildinio šakas, srovės lygios atitinkamoms kontūrų srovėms IK. Kitų šakų sroves gausim algebriškai sumuodami kontūrų sroves. Ryšį tarp kontūrų ir šakų srovių apibūdina lygtis: [B] T [IK] = [I], čia [B]T – transformuota kontūrų matrica, [IK]- kontūrų srovių matrica. Pritaikius II Kirchhofo dėsnį: [B][R][B]T [IK] = [B] ([E] - [R][J]) – tai kontūrų srovių matricinė lygtis. Joje [R K]=[B][R][B]T – tai kontūrų varžų matrica. O [E K] = [B] ([E] - [R][J]) – kontūrų EVJ matrica, į kurią įeina ne tik EVJ šaltinių elektrovaros jėgos, bet ir elektrovaros jėgos, gaunamos pakeitus srovės šaltinius ekvivalentiniais EVJ šaltiniais. Kontūrų srovių matricinė lygtis: [RK] [I K] =[EK]. Ją išsprendę, galim rasti kontūrų srovių matricą [I K]. 4.6 Kirtimų metodas. Šiuo metodu užrašomos lygtys grafo medžio šakų įtampoms. Gaunama m-1 lygčių sistema, kurią išsprendus randamos medžio šakų įtampos, ir apskaičiuojamos medžio papildinio šakų įtampos.Užrašant lygtis naudojama kirtimų matrica. Grandinės lygtis galima gauti iš Omo dėsnio matricinės lygties, nustačius ryšį tarp grafo ir jo medžio šakų įtampų. Tarkim medžio šakos yra nuo 1 iki m-1, papildinio nuo m iki s. Įtampų matrica stulpelis suskirstoma į 2 dalis: į medžio šakų įtampų submatricą [UM] ir medžio papildinio šakų įtampų submatricą [UP]: [U] T=[UM ¦ UP]T. Žinant, kad [B][U]=[0] ir [B]=[B1 ¦ 1], tada: [B][U]=[B1 ¦ 1] = [B1][UM] + [UP] = [0]. Ryšys tarp grafo medžio ir jo papildinio šakų įtampų: [UP]= - [B1][UM]. Ryšys tarp grafo ir medžio šakų įtampų: [U] = [Q] T [UM]. Pasinaudojant Omo dėsniu, ir kad [Q][I]=[0] : [Q][G][Q]T [UM] = - [Q] ([G][E] - [J]) – tai kirtimų metodo lygtis. Joje [G Q]=[Q][G][Q]T – kirtimų laidžių matrica. O [J Q] = [Q] ([G][E] - [J]) – kirtimų srovių matrica stulpelis. Matricos [JQ] k-asis elementas, atitinkantis k-ąjį kirtimą, lygus šakų, kurias šis kirtimas kerta srovės šaltinių srovių algebrinei sumai. Skaičiuojant šią sumą EVJ šaltiniai pakeičiami ekvivalentiniais srovės šaltiniais. Sumuojant srovės šaltinio srovė rašoma su “+”, jei jos kryptis sutampa su kirtimo orientacija, ir su “-” jei jų kryptys priešingos. Kirtimų metodo lygtis: [GQ] [U M] = -[JQ]. Ją išsprendę, galim rasti medžio šakų įtampų matricą [U M]. V Sinusinės el srovės grandinės. 5.1 Sinusinių grandinių paplitimo priežastys. Šiuo metu beveik visa pasaulyje gaminama el energija yra kintamos srovės energija. Nuolatinė srovė paprastai gaunama išlyginus kintamąją. Kintamoji įtampa paplitusi dėl 2 priežasčių. 1) Kintamos įtampos didumą lengva pakeisti transformatoriumi, o tai labai svarbu energijos tiekimo sistemose. El energiją ekonomiškiau perduoti aukštąja įtampa, o vartotojui reikalinga žema įtampa. Todėl energijos tiekimo linijos pradžioje įtampa transformatoriumi paaukštinama, o gale - pažeminama. 2) Kintamos srovės varikliai ir generatoriai yra paprastesni ir ekonomiškesni. 5.2 Sinusinės EVJ gavimas. Generatoriaus veikimo principas. Sinusinę EVJ galima gauti, homogeniniame magnetiniame lauke pastoviu kampiniu greičiu w sukant laidininko rėmelį apie ašį, statmeną magnetinės indukcijos B linijoms. Sukantis rėmeliui, kinta jį veriantis magnetinis srautas Φ ir rėmelyje indukuojasi EVJ e. Tarkim laiko momentu t=0 rėmelio plokštuma statmena magnetinės indukcijos B linijoms, rėmelį veria maximalus magnetinis srautas Φm=SB. Laiko momentu t>0 rėmelis nuo pradinės padėties bus pasisukęs kampu α=wt ir jį vers magnetinis srautas Φ=Φmcosα=Φmcos wt. Kai EVJ e kryptis su magnetiniu srautu susieta dešininio sraigto taisykle, tai: e= -dΦ/dt= -d(Φmcos wt)/dt = wΦm sinwt. Kai rėmelis turi N vijų, jame indukuojasi N kartų didesnė EVJ: e= wNΦm sinwt=Em sinwt; čia Em=wNΦm - maksimali indukuotos EVJ reikšmė. Sujungę rėmelio gnybtus, gaunam uždarą grandinę. Joje EVJ e gali sukurti sinusinę srovę. Generatorių sudaro: statorius (nejudanti dalis) ir rotorius (judanti dalis). 5.3 Sinuso dėsniu kintančių dydžių apibūdinimas. Sinusiniams dydžiams apibūdinti naud. Keletas sąvokų. Momentinė reikšmė – sinusinio dydžio reikšmė bet kuriuo laiko mementu t. Dydžių momentinės reikšmės žymimos mažosiomis raidėmis: i, u, e,... Amplitudė – maksimali sinusinio dydžio reikšmė. Amplitudinės reikšmės žymimos didžiosiomis raidėmis su indeksu “m”:Im, Um, Em,.. Periodas T – laiko tarpas, kurį trunka sinusinio dydžio kitimo ciklas. Dažnis f – sinusinio dydžio kitimo ciklų skaičius per vieną sekundę. Tai atvirkščias dydis periodui: f=1/T, [Hz]. Fazė – tai kampinis dydis (w t+ψi), nusakantis, kaip keičiasi sinuso argumentas. Pradinė fazė – sinusinio dydžio fazė ψi laiko momentu t=0. Tai kampinis atstumas iki artimiausio perėjimo per nulį. Kampinis dažnis w – sinusinio dydžio fazės kitimo greitis, [s -1] . To paties dažnio sinusinių dydžių fazių skirtumas bet kuriuo laiko momentu yra pastovus ir lygus tų dydžių pradinių fazių skirtumui. 5.4 Sinusinio dydžio efektinė vertė. Efektinė sinusinės srovės vertė – tokia nuolatinės srovės vertė, kuri sukuria tokį pat šiluminį efektą (galią) kaip ir ta sinusinė srovė. Sinusinės srovės efektinė vertė – tai tos sinusinės srovės vidutinis kvadratinis vidurkis per periodą. Efektinės dydžių reikšmės žymimos didžiosiomis raidėmis (I, U, E,...)Sinusinio dydžio efektinė reikšmė yra karto mažesnė už amplitudinę: I= Im / , U= Um / , E= Em / . Dauguma kintamos srovės matavimo prietaisų sugraduoti efektinėmis dydžių reikšmėmis. 5.5 Sinusinių dydžių vaizdavimas vektoriais ir kompleksiniais skaičiais. Sinusinį dydį galima atvaizduoti pastoviu kampiniu greičiu w prieš laikrodžio rodyklę sukamu vektoriumi, kurio ilgis proporcingas sinusinio dydžio amplitudei, o kampas su abscisių ašim laiko momentu t=0 lygus sinusinio dydžio pradinei fazei ψ. Tokio vektoriaus projekcija į ordinačių ašį atitinka sinusinio dydžio momentinę reikšmę. Sinusines laiko funkcijas vaizduojantys vektoriai žymimi didžiosiomis raidėmis su brūkšniu apačioje. Atvaizdavus sinusinius dydžius vektoriais, to paties dažnio sinusinių dydžių sudėties ir atimties veiksmus atitinka analogiški veiksmai su juos vaizduojančiais vektoriais. Tokiu būdu atlikti veiksmus galima tik tuomet, kai sinusiniai dydžiai yra to paties dažnio, t.y. kai juos atitinkantys vektoriai sukami tokiu pačiu kampiniu greičiu w. Kuomet reikalingas didesnis tikslumas, sinusinius dydžius geriau vaizduoti kompleksiniais skaičiais. Menamas vienetas: j (j=-1) Kompleksą galima užrašyti rodikline ir algebrine forma: = a+jb = Aej; čia a, b –realioji ir menamoji komplekso dalys; A=- komplekso modulis, = arctg b/a – komplekso argumentas. Kompleksai vadinami jungtiniais, jei jie vienas nuo kito skiriasi tik menamosios dalies b ženklu ( ženklu). Kompleksas vadinamas sinusinio dydžio a kompleksine efektine reikšme, kurią padauginus iš 2, gaunama kompleksinė amplitudė Am: . Kampas tarp kompleksą Am atitinkančio vektoriaus ir realiosios ašies yra . a= Imcosi, b=Imsini. 5.6 Varža sinusinės srovės grandinėje. Aktyvioji varža R apibūdina grandinės elemento savybę negrįžtamai pakeisti el energiją kitomis energijos rūšimis: šilumine, chemine, šviesos... Kai tarp aktyviosios varžos gnybtų prijungta sinusinė įtampa uR=URm sin wt, varža teka sinusinė srovė: iR=ur / R =(URm / R)sin wt =IRm sin wt, čia IRm =URm / R – srovės amplitudė. Taigi aktyviojoje varžoje srovės ir įtampos fazės sutampa. Aktyviosios varžos momentinė galia kinta dvigubai didesniu dažniu už įtampą ir srovę nuo 0 iki maximalios reikšmės – 2URIR: pR=uR iR= URm IRm sin2wt =URIR (1-cos2wt), [V*A]. Vidutinį elektromagnetinės energijos pavertimo kitomis energijomis greitį apbūdina aktyvioji galia, lygi momentinės galios vidutinei reikšmei per periodą T: P=, [W] 5.7 Induktyvumas sinusinės srovės grandinėje. Induktyvumas L apibūdina grandinės elemento savybę sukurti magnetinį srautą, kai tuo elementu teka srovė. Kai induktyvumu teka sinusinė srovė iL= ILm sin wt, ji sukelia įtampos kritimą uL= L(di L/dt)= ULm sin(wt+/2); čia ULm= wLIm – įtampos kritimo amplitudė. Taigi induktyvumu tekanti sinusinė srovė iL sukuria sinuso dėsniu kintantį įtampos kritimą uL. Induktyvume srovė atsilieka nuo įtampos /2 faze. Įtampos ir srovės amplitudžių arba efektinių reikšmių santykis žymimas XL ir vadinamas induktyvumo varža: XL= wL=ULm / ILm= UL / IL, []. Induktyvumo momentinė galia kinta dvigubai didesniu dažniu už įtampą ir srovę nuo +UL / IL iki -UL / IL: pL=uL iL= ULm ILm sin wt * sin(wt+/2) =ULIL sin2wt, [V*A]. Vidutinė induktyvumo momentinės galios reikšmė per periodą T – aktyvioji galia: PL=0. Taigi sinusinės srovės grandinėje induktyvumas periodiškai keičiasi energija su šaltiniu arba kitais grandinės elementais, tačiau jame elektromagnetinė energija negrįžtamai kitomis energijos rūšimis nepaverčiama. Vykstant energijos mainams, maksimali momentinė galia p max= UL * IL. Tai induktyvumo reaktyvioji galia: QL= UL * IL =IL2 * XL. 5.8 Talpa sinusinės srovės grandinėje. Talpa C apibūdina grandinės elemento savybę sukaupti el krūvį, kai tarp jo gnybtų prijungta įtampa. Kintant talpos įtampai uC=UC m sin wt, talpa teka sinusinė srovė iC=C(duC / dt)= ICm sin (wt +/2); čia ICm= wCUm – srovės amplitudė. Srovė talpoje pralenkia įtampą /2 faze. Įtampos ir srovės amplitudžių arba efektinių reikšmių santykis žymimas XC ir vadinamas talpos varža: XC= 1 / wC=UCm / ICm= UC / IC, []. Momentinė galia talpoje kinta dvigubu dažniu: pC=uC iC= UCm ICm sin wt * sin(wt+/2) =UCIC sin2wt, [V*A]. Vidutinė talpos momentinės galios reikšmė per periodą T – aktyvioji galia: PC=0. Taigi sinusinės srovės grandinėje talpa periodiškai keičiasi energija su šaltiniu arba kitais grandinės elementais, tačiau joje elektromagnetinė energija negrįžtamai kitomis energijos rūšimis nepaverčiama. Vykstant energijos mainams tarp šaltinio ir talpos el lauko, maksimali momentinė galia p max= UC * IC. Tai talpos reaktyvioji galia: QC= UC * IC =IC2 * XC. 5.9 Nuoseklioji R,L,C grandinė. Kompleksinė varža. Omo dėsnis kompleksinėje formoje. Varžų trikampis. Nuoseklioje grandinėje u=uR+uL+uC. Iš vektorių diagramos randame: U=UR+UL+UC Trikampis kurio kraštinės proporcingos varžoms Z, R ir X=XL-XC, vadinamas varžų trikampiu (jis yra panašus į įtampų trikampį, abu turi tą patį kampą =arctg(X/R)). Iš šio trikampio: ; ; Z=R/cos=X/sin. Omo dėsnis: ; čia kompleksinė varža: . Realioji kompleksinės varžos dalis yra aktyvioji varža R, o menamoji – reaktyvioji varža X. Pilnoji varža: tai Z=R2+X2; 5.10 Lygiagrečioji R,L,C grandinė. Kompleksinis laidumas. Laidumų trikampis. Kompleksinis laidumas yra atvirkščias kompleksinei varžai, jį galima užrašyti ir rodikline forma: =G-j(BL-BC)=G-jB=Ye -j; čia G, BL, BC – aktyvusis, induktyvusis ir talpusis laidžiai: G=R/ Z2, BL=XL / Z2, BC=XC / Z2. B= BL+BC – reaktyvusis laidumas, Y= - pilnasis laidumas; =arctg (B/G) – kompleksinio laidumo argumentas. Lygiagrečioje grandinėje i=iR+iL+iC. ; ; . Trikampis kurio kraštinės proporcingos laidumams Y, G ir B vadinamas laidumų trikampiu (jis yra panašus į srovių trikampį). Iš šio trikampio: ; ; Y=G/cos=B/sin. 5.11 Kirchhofo dėsniai kompleksinėje formoje. Sinusinės srovės grandinei Kirchhofo lygtys skiriasi tuo,kad dydžiai yra ne realūs (kaip nuolatinės srovės grandinėj), o kompleksiniai. I Kirchhofo dėsnis: n-ojo grandinės mazgo srovių algebrinė suma lygi 0: . Pagal II Kirchhofo dėsnį bet kurio el grandinės kontūro įtampos kritimų algebrinė suma lygi to kontūro EVJ algebrinei sumai: Tai K-ojo kontūro II Kirchhofo dėsnio lygtis kompleksams. VI Sinusinės srovės grandinių savybės. 6.1 Įtampų rezonansas Įtampų rezonanso atveju nuosekliojo kontūro kompleksinė grandinės varža =R+jX=R+j(XL-XC) lygi aktyviajai varžai,t.y. jos reaktyvioji varža X=0. Įtampų rezonanso sąlyga: . Taigi įtampų rezonanso metu grandinėje teka maksimali srovė , kurios didumą riboja tik aktyvioji varža R. Šios srovės ir įėjimo įtampos fazių skirtumas φ lygus nuliui φ=arctg(X/R)=0. Rezonanso atveju įtampos kritimai reaktyviuose kontūro elementuose yra vienodo dydžio (UL=XLI=XCI=UC) tačiau jų fazės skiriasi 180˚. Rezonanso metu įtampos kritimas aktyviojoje varžoje UR lygus grandinės gnybtų įtampai U:U=UR=RIr. Rezonansą galima pasiekti keičiant kampinį dažnį (wr=1/LC), dažnį (fr=1/2LC), induktyvumą (Lr=1/w2C), talpą (Cr=1/w2L). 6.2 Dažninės ir rezonansinės charakteristikos Nuoseklaus Keičiantis įtampos dažniui, kinta nuosekliojo kontūro varžos XL=wL, XC=1/(wC), X=XL-XC, bei įtampos ir srovės fazių skirtumas φ=arctg(X/R). Priklausomybės XL(w), XC(w), X(w), Z(w) ir (w) vadinamos kontūro dažninėmis charakteristikomis. Induktyvioji varža XL didėja nuo 0 iki ∞ proporcingai dažniui. Talpos varža kinta atvirkščiai proporcingai kampiniam dažniui nuo ∞ (kai w=0) iki 0 (kai w=∞). Reaktyvioji varža X didėja nuo -∞ (kai w=0)­­­ iki ∞ (kai w=∞). Rezonanso taške w=wr ji lygi nuliui. Kintant varžoms, keičiasi kontūro srovė I bei įtampos UR ,UL ,UC. Priklausomybės I(w), UR(w), UL(w), UC(w) vadinamos kontūro rezonansinėmis charakteristikomis. Lygiagretaus Kadangi idealaus kontūro aktyviosios varžos lygios 0, jo laidumai BL ir BC yra atvirkštiniai dydžiai šakų varžoms: BL=1 /XL=1 / (wL) ir BC=1 /XC=wC. Šių laidumų grafikai – dažninės charakteristikos BL(w) ir BC(w). Kadangi idealaus rezonansinio kontūro srovė I=U |B|, srovės rezonansinė charakteristika I(w) yra tokio pat pavidalo , kaip ir dažninė charakteristika B(w). 6.3 Srovių rezonansas Grandinė, kurios vienoje lygiagrečioje šakoje yra induktyvumas, o kitoje talpa, vadinama lygiagrečiuoju kontūru. Lygiagrečiojo kontūro režimas, kai įėjimo įtampa U ir srovė I sutampa faze, vadinamas srovių rezonansu. Reaktyvusis laidumas B lygus lygiagrečių šakų reaktyviųjų laidumų sumai. Srovių rezonanso sąlyga: B=BL-BC=0. Srovių rezonanso metu kontūro srovė yra minimali: Ir=Imin=U(G1+G2). Idealus- tai toks kontūras, kurio aktyviosios varžos lygios 0, o aktyvusis laidumas G=0, taigi rezonanso atveju srovė: I=Ir=UG=0. Tačiau srovės lygiagrečiose kontūro šakose I1 ir I2 nelygios 0 (kai įtampa U  0). 6.4.1 Momentinė galia Momentinė galia – tai energijos perdavimo ar keitimo kitų rūšių energija greitis bet kuriu laiko momentu. p=iu, [W]. Je grandinės gnybtų įtampa yra u=Um sin wt ir srovė i=Im sin (wt - ), tai p=ui=U Icos-U Icos(2wt - ), čia U Icos - nuo laiko nepriklauso, U Icos(2wt - ) – laikui bėgant kinta dvigubai didesniu dažniu negu įtampa ar srovė. 6.4.2 Aktyvioji galia Aktyvioji galia rodo vidutinį elektromagnetinės energijos negrįžtamo keitimo kitomis energijos rūšimis greitį: arba P=U Icos=I2R, [W]. Pasyviosios grandinės įtampos ir srovės fazių skirtumas ||/2. Taigi jos aktyvioji galia P0. Kai grandinėje yra tik reaktyvieji elementai (L,C), jos ||=/2 ir P=0. Aktyvioji galia matuojama vatmetru. 6.4.3 Reaktyvioji galia Reaktyvioji galia apibūdina grįžtamuosius periodinius energijos kaitos procesus: Q=Ur I=U Ir. Grandinės reaktyvioji galia: Q=U I sin = I2 X=QL- QC ,[var]. Skaičiuojant reaktyviąją galią Q, talpos reaktyvioji galia QC užrašoma su “--” (Q=QL- QC). Kai QL >QC grandinė yra induktyvaus pobūdžio (>0) ir jos reaktyvioji galia Q=U I sin=QL- QC >0. O kai QL3) nėra plačiai taikomos. 7.2 Trifazių grandinių jungimo būdai Laidai, jungiantys šaltinį su imtuvu – linijiniai laidai, o jais tekančios srovės – linijinės srovės (Il). Fazinės (If) – tai srovės, tekančios šaltinio ir imtuvo faziniais laidais. Fazinės įtampos- tai įtampos tarp nulinio ir linijinio laido (Uf), o linijinės įtampos (Ul) – tai įtampos tarp linijinių laidų. Sujungę atskirai kiekvieną trifazio generatoriaus apviją su imtuvo faze gauname 3 nepriklausomas grandines. Tokia trifaze grandinė, susidedanti iš trijų tarpusavyje nesusijusių dalių, vadinama nesurištąja. Nesurištosiose trifazėse grandinėse generatorių ir imtuvą jungia 6 laidai. Jungimas žvaigžde. Nesurištoje grandinėje 3 “grįžtamuosius” laidus pakeitę vienu –nuliniu laidu, gaunamas žvaigždinis trifazės grandinės jungimas. Taškai O ir O’, prie kurių prijungtas nulinis laidas, vadinami generatoriaus ir šaltinio nuliniais laidais taškais. Sujungę trifazę grandinę žvaigžde, gauname keturlaidę grandinę. Simetrinės trifazės grandinės nuliniu laidu srovė neteka, todėl jis paprastai nejungiamas ir gaunama trilaidė grandinė. Il =lfl , Ul=3 Uf. Jungimas trikampiu. Kiekvienos apvijos pradžia sujungta su kitos apvijos galu. Taip sujungus apvijas gaunamas uždaras kontūras, kuriame teigiamos EVJ kryptys sutampa. Simetrinio generatoriaus apvijų trikampio kontūru srovė neteka, E =0, Nesimetriniame režime E gali būti 0, tada ji sukuria srovę trikampio kontūre. Trikampiame jungime: Ul =Uf. Simetrinėje grandinėje visos 3 linijinės ir fazinės srovės tarpusavy yra vienodos. Jas sieja ryšys: Il = 3 If 7.3 Žvaigžde sujungtų trifazių grandinių analizė Kai grandinė simetrinė, nuliniu laidu srovė neteka, jis neturi įtakos grandinės režimui, tai taškų O ir O’ potencialai vienodi ir įtampa =0. Šaltinio bei imtuvo atitinkamų fazių įtampos yra vienodos. Bet kurios fazės srovę galima rasti iš Omo dėsnio. Kitų dviejų fazių srovės gaunamos 1-ąją srovę padauginus iš fazės daugiklio a ir a2.Simetrinėje grandinėje, žinant fazinių įtampų kompleksus, galima užrašyti linijinių įtampų kompleksus: Ul=3 Uf. Kitos 2 fazinės įtampos randamos, panaudojant fazės daugiklį a, a2. Nesimetrinėje, kai nulinio laido varža ZN=0, grandinės imtuvo įtampos yra lygios atitinkamoms šaltinio įtampoms. Grandinėje tekančias sroves gaunam pritaikius Omo dėsnį. Nulinio laido srovė apskaičiuojama remiantis I Kirchhofo dėsniu: IN=IA+IB+IC. Kai nesimetrinėje grandinėje nuliniu laidu teka srovė. Apskaičiuojama įtampa: . Randamos imtuvo fazinės įtampos:. . Apskaičiuojamos grandinės srovės: , , . Kai nulinio laido ZN0, prie nesimetrinio trifazio imtuvo prijungus simetrinės trifazės įtampos šaltinį, imtuvo įtampų sistema gaunama nesimetrinė. 7.4 Trikampiu sujungtų trifazių grandinių analizė Simetrinį trifazį imtuvą prijungus prie simetrinio šaltinio, gaunama simetrinė trifazė grandinė, kurios bet kurios fazės srovę galima rasti iš Omo dėsnio. Kitų dviejų fazių srovės gaunamos 1-ąją srovę padauginus iš fazės daugiklio a ir a2. Linijinės srovės apskaičiuojamos iš fazinių: Il = 3 If.Žinant trikampiu sujungto nesimetrinio trifazio imtuvo įtampas, fazinės srovės apskaičiuojamos remiantis Omo dėsniu. Linijinės srovės lygios fazinių srovių skirtumui. 7.5 Sukamojo magnetinio lauko gavimas. Trifaziai varikliai ir generatoriai Galimybė gauti sukamąjį magnetinį lauką yra vienas iš trifazės sistemos privalumų. Atradus sukamąjį magnetinį lauką, sukurtas plačiausiai šiuo metu naudojamas kintamosios srovės variklis- asinchroninis variklis. Magnetinis laukas juda pagal laikrodžio rodyklę. Norėdami sužinot srovės kryptį, reikia panaudot dešinio sraigto taisyklę. Sinchroniniame variklyje rotoriuje naudojamas elektromagnetas (tuo skiriasi nuo asinchroninio). Sukamasis magnetinis laukas gaunamas išdėsčius 3 rites taip, kad tarp jų kampai būtų 120. Tokios ričių sistemos magnetinio lauko indukcijos vektorius B(t) sukasi pastoviu kampiniu greičiu w. Šio vektoriaus modulis yra pastovus.

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!