Visa integralų teorija su formulėmis

 1. Neapibrėžtinio integralo sąvoka. Tiesioginis integravimas Diferencialinio skaičiavimo pagrindinis u.davinys — rasti duotosios funkcijos F(x) išvestinę F‘(x) = f(x) arba diferencialą dF(x) = f (x)dx. Galima spręsti daug sudėtingesnį atvirkštinį uždavinį — rasti funkciją F(x), kai .inoma šios funkcijos išvestinė f (x) arba diferencialas f (x)dx. Tačiau ne kiekviena elementarioji funkcija gali būti elementariosios funkcijos išvestinė. Pavyzdžiui, funkcija, turinti intervale I ⊂ R pirmojo tipo trūkio taškus, negali būti išvestine. 1 apibrėžimas. Jeigu egzistuoja tokia diferencijuojama funkcija F : I → R, kad F‘(x) = f (x), xєI, tai funkcija F(x) yra vadinama funkcijos f (x) pirmykšte funkcija intervale I. 1 teorema. Jei F1(x) ir F2(x) yra dvi funkcijos f (x) pirmykštės funkcijos intervale I, tai jos viena nuo kitos skiriasi tik pastoviąja C, t. y. F1(x)- F2 (x) = C. 2 apibrė.imas. Visų duotosios funkcijos f (x) pirmykščių funkcijų intervale I aibė vadinama funkcijos f (x) neapibrėžtiniu integralu ir žymima simboliu ∫ f (x)dx. Funkcija f (x) vadinama pointegraline funkcija, o sandauga f (x)dx — pointegraliniu rei.kiniu, ženklas ∫— integralo ženklu, x — integravimo kintamuoju. Jeigu F(x) yra funkcijos f (x) pirmykštė funkcija intervale I, tai, remiantis 1 teoremos išvada, ∫f(x)dx ={F(x)+C:CєR}. 3 apibrėžimas. Pirmykštės funkcijos arba neapibrėžtinio integralo ieškojimo operacija vadinama funkcijos integravimu. Pagrindinės neapibrėžtinio integralo savybės: 1. Neapibrėžtinio integralo išvestinė lygi pointegralinei funkcijai, t. y. (∫f(x)dx)′ = f (x) 2. Neapibrėžtinio integralo diferencialas yra lygus pointegraliniam reiškiniui, t. y. d(∫f(x)dx)=f(x)dx. 3. Pastovų daugiklį galima iškelti prieš integralo ženklą, t. y. ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx. 4. Kelių funkcijų algebrinės sumos integralas yra lygus šių funkcijų integralų sumai, t. y. ∫(f1(x)+...+fn(x))dx=∫f1(x)dx+...+∫fn(x)dx. Iš 3 ir 4 savybių i.plaukia neapibrėžtinio integralo tiesiškumo savybė: ∫(αf(x)+βg(x))dx=α∫f(x)dx+β∫g(x)dx, α, βєR. 2 teorema (apie integravimo formulių invariantiškumą). Jeigu ∫f(x)dx=F(x)+C ir u=φ(x) - funkcija, turinti tolydžiąją išvestinę, tai ∫f(u)du=F(u)+C. 4 apibrėžimas. Integravimas, naudojantis pagrindinėmis neapibrėžtinio integralo savybėmis ir pagrindinių integralų lentelės formulėmis, vadinamas tiesioginiu integravimu. 2. Kintamojo keitimo metodas Kintamojo keitimas yra vienas efektyviausių integravimo metodų, kai duotasis integralas keičiamas kitu, lengviau integruojamu neapibrėžtiniu integralu. Norėdami apskaičiuoti integralą ∫f(x)dx, kintamąjį x pakeičiame pagal formulę x=φ(t) . Tarkime, kad funkcijos f(x), φ(t) ir φ′(t) yra tolydžiosios funkcijos, o funkcija x=φ(t) turi atvirkštinę funkciją t=ψ(x). Tada dx=φ′(t)dt ir teisinga lygybė ∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ′(t)dt+C. Suintegravus dešinėje pusėje esantį integralą, reikia grįžti prie senojo kintamojo x, įrašant t=ψ(x).Nėra bendros taisyklės, kaip sėkmingai parinkti keitinį x=φ(t). Tačiau jį reikia parinkti taip, kad duotajame neapibrėžtiniame integrale būtų diferencialas dx=φ′(t)dt. Jeigu pointegraliniame reiškinyje yra: 1) dauginamasis, tai tikslinga imti keitinius x=asint arba x=acos t ; 2) dauginamasis , tai tikslinga imti keitinius x=atgt arba x=actgt; 3) dauginamasis , tai tikslinga imti keitinius arba . 3. Integravimo dalimis metodas Tarkime, kad u = u(x) ir v = v(x) – kintamojo x funkcijos, turinčios tolydžiąsias išvestines. Tada šių funkcijų sandaugos diferencialą galima užrašyti taip: d(uv)= udv + vdu, iš čia udv=d(uv)- vdu. Integruodami šios lygybės abi puses ir pasinaudodami neapibrėžtinio integralo 2 savybe, gauname integravimo dalimis formulę: ∫udv=uv-∫vdu. Norint pasinaudoti šia formule, reikia pointegralinį reiškinį suskirstyti į du dauginamuosius u ir dv taip, kad pavyktų suintegruoti diferencialinius reiškinius — iš pradžių dv, o po to vdu. Todėl šis metodas ir vadinamas integravimo dalimis metodu. Daugumą integralų, integruojamų šiuo metodu, galima suskirstyti į tris grupes: 1) integralai ∫P(x)lnxdx, ∫P(x)arcsinxdx, ∫P(x)arctgxdx, ..., čia P(x) – daugianaris; žymime u=lnx, u=arcsinx, u=arctgx, ...; 2) integralai ∫P(x)eaxdx, ∫P(x)sinaxdx, ∫P(x)cosaxdx, ..., čia P(x) – daugianaris; žymime u=P(x); 3) integralai ∫eaxcosbxdx, ∫eaxsinbxdx, ∫cos(lnx)dx, ∫sin(lnx)dx, ...; žymime u=eax arba u=cosbx, u=sinbx, u=cos(lnx), u=sin(lnx), .. Pažymėję bet kurį .ios grupės integralą I ir du kartus taikydami integravimo dalimis formulę, gauname pirmojo laipsnio lygtį integralo I atžvilgiu. Iš šios lygties rasime integralą I. Pastaba. Išvardytos trys grupės integralų neapima visų integralų, kuriuos galima suintegruoti integravimo dalimis metodu. 4) Panaudodami integravimo dalimis metodą, galime gauti rekurentines formules kai kuriems integralams apskaičiuoti: 4. Funkcijų, kurių i.rai.koje yra kvadratinis trinaris, integravimas 10. Integralai skaičiuojami, išskiriant kvadratinio trinario pilnąjį kvadratą ; čia . Kai M=0, tai, išskyrę trinaryje dvinario kvadratą ir pritaikę tiesioginio integravimo metodą bei (9*) arba (15) pagrindinių integralų lentelės formules, suintegruojame šį integralą. Jei M≠0, tai skaitiklyje sudarome kvadratinio trinario išvestinę 2ax+b ir gauname . Pastarasis integralas atitinka atvejį, kai M=0. 20. Analogi.kai skaičiuojami integralai , kuriems taikome (16), kai a > 0, arba (10*), kai a 0 , tai (pirmasis Oilerio keitinys). Pakėlę abi lygybės puses kvadratu, apskaičiuojame x, dx, ir įrašome į pointegralinį reiškinį. 2. Kai c >0, tai (antrasis Oilerio keitinys). 3. Kai kvadratinis trinaris ax2+bx+c turi skirtingas realiąsias šaknis x1, x2, tai (trečiasis Oilerio keitinys); čia kuri nors viena trinario šaknis. Nors Oilerio keitiniais integralas visada racionalizuojamas, bet gaunami gana sudėtingi pointegraliniai reiškiniai. Todėl šis integralas gali būti integruojamas kitais būdais, netaikant Oilerio keitinių. Reiškinyje ax2+bx+c išskirkime dvinario kvadratą: ; čia Kadangi a gali būti ir teigiamas, ir neigiamas, tai raidę a pažymėję ± m2, integralą pakeičiame vienu šių integralų: I., keitinys arba II., keitinys arba III., keitinys arba 8. Trigonometrinių funkcijų integravimas I. Nagrinėsime integralus ∫R(sinx,cosx)dx, čia R – kintamųjų sinx ir cosx racionalioji funkcija. Šį integralą visada galima suintegruoti universaliuoju keitiniu arba ; ,. Nors universalusis keitinys visada tinka, tačiau kartais trigonometrinių funkcijų integralus galima racionalizuoti paprastesniais keitiniais. 1.Jeigu pointegralinė funkcija R(sinx,cosx) yra nelyginė funkcijos sinx atžvilgiu (pakeitus funkcijos sinx ženklą, pointegralinė funkcija pakeičia ženklą), tai keitinys cosx=t, 2.Jeigu pointegralinė funkcija R(sinx,cosx) yra nelyginė funkcijos cosx atžvilgiu, tai keitinys sinx =t, 3.Jeigu pointegralinė funkcija R(sinx,cosx) yra lyginė funkcijų sinx ir cosx atžvilgiu, t. y. R(-sinx, -cosx) = R(sinx,cosx), tai keitinys tgx = t, 11. Kreivinės trapecijos plotas ir apibrėžtinio integralo sąvoka Sakykime, kad atkarpoje [a,b] apibrėžta teigiama ir tolydi funkcija y=f(x) . 1.apibrėžimas. Figūra, apribota iš apačios abscisių ašies, iš šonų - tiesių x=a ir x=b, iš viršaus - funkcijos f(x) grafiko, vadinama kreivine trapecija. 2.apibrėžimas. Aibė ta.kų T={a=x0

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!