Diferencialinės lygtys - teorija

(1) PIRMOS EILĖS DIF.LYGTYS . Lygtis, į kurią įeina nepriklausomas kintamas, f-ja ir tos f-jos išvestinės vad. diferencialine lygtimi. F(x,y,y’,…,y’n)=0 (n-tos eilės dif.lygtis). Dif. lygties eilę nusako aukščiausios išvestinės eilė. Būna neišreikštiniam pavidale: F(x,y,y’,…,y’n)=0 ir išreikštiniam pavidale: yn=f(x,y,y’,y’’,…,y(n-1)). Jei dif. lygtyje yra vienas nepriklausomasis kintamas x, lygtis vad. paprasta dif. lygtis. Jei dif. lygtyje yra keli nepriklaus. kintamieji ir dalinės išvestinės, tų kintamųjų atžvilgiu, tada dif. lygtis vad. difer. lygtimi su dalinėmis išvestinėmis. Išnagrinėsim pirmos eilės paprastas dif. lygtis: F(x,y,y’)=0 arba y'=f(x,y) x,y є D: a≤x≤b c≤y≤d f(x,y)—tolydi, apibrėžta, difer. srityje D. F-ja, kuri tenkina duotą dif. lygtį, vad. tos lygties sprendiniu (srityje D). y=φ(x) y’*f(x,φ(x)). (2) PIRMOS EILĖS DIF. LYGTIES SPRENDIMAS IZOKLINŲ METODU Duota: y’=f(x,y), f(x,y)—tol. apib. srityje D a≤x≤b c≤y≤d x,y є D Krypčių lauku vad. visos kryptys, kuriuose tg α=f(x,y). α—kampas tarp liestinės kreivei nagr. taške ir teig. Ox ašies krypties. Izoflinomis vad. aibę taškų, kuriuose krypčių lankas yra vienodas. F(x,y)=k k—const. (3) Difer. lygtys atskiriamais kintamaisiais Jos būna dviejų rūšių: 1. Dif. lygtis atskirtais kintamaisiais (tokia lygtis, kai prie dx yra tik f-ja nuo x, o prie dy f-ja nuo y): p(x)dx=q(y)dy; p(x), q(y)—tolydi, dif. srityje D a≤x≤b c≤y≤d ∫p(x)dx=∫q(y)dy y’q(y)=p(x) dy/dx (q(y))=p(x) => ∫dy q(y)=∫p(x)dx. 2. Dif. lygtis su atskiriamais kintamais: p1(x)q1(y)dx+p2(x)q2(y)dy=0 / *1/q1(y)p2(x) ∫p1(x)dx/p2(x)+∫q2(y)dy/q1(y)=0 (1+x)ydx=(y+1)xdy / 1/y*x ∫(1+x2)dx/x=∫(y+1)dy/y ∫dx/x+∫xdx=∫dy+dy/y ln|x|+x2/2=y+ln|y|+c (4) PIRMOS EILĖS HOMOGENINĖS DIF. LYGTYS F-ja F(x,y) vad “k”- eilės homogen. f- ja jeigu F(tx, ty) = tk F(x,y). x,y – x3 –nehomogen. tx ty – t3x3 = t2(xy – tx3) P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 P(x,y); Q(x,y) – tolydžios x є(a,b); y є(c,d) P(x,y) ir Q(x,y) yra to paties laips. hom. f-jos P(x,y) + Q(x,y) y’=0 y=f(x,y); f(tx; ty)=f(x,y) Jei t=1/x; f(1;y/x)=y’; y/x=u; y=ux; y=u’x+u u=u(x) dif. xє(a,b) y’=ey/x+y/x (5) Pirmos eilės dif., lygtys, kurių formulė: y’=f((a1x+b1y+c1)/(a2x+b2y+c2)) Yra du būdai: 1. a1 b1 a2 b2 ≠0 Įvedam pažymėjimą: x=x1+m y=y1+m m,n є R dx=dx dy=dy y’=dy/dx => y’1=dy1/dx1 y’1=f((a1(x1+n)+b1(y1+n)+c1)/a2(x1+n)+b2(y1+n)c2) m,n—parenkam a1m+b1n+c1=0 a2m+b2n+c2=0 Rasim m, n y’1=f((a1x1+b1y­1)/a2x1+b2y1) y1/x1=u y1=ux1 y’1=u­’x1+u išsprendę įstatom reikšmes: x1=x-m y1=y-n u=y1/x1 2.) a1 b1 =0 a2 b2 Kintamieji atsiskiria iš karto. (6) PIRMOS EILĖS DIF.LYGTYS . Apibrezimas:Dif lygtis, I kuria ieina y’+p(x)Y=q(x)…(1) – tiesine dif lygtis. p(x),q(x) – tolydzios x(a,b); a1(x)y’+b1(x)y=c1(x)…(2); a1(x)0/(1/a1(x)); y’+y b1(x)/a1(x)=c1(x)/a1(x) b1(x)/a1(x)=p(x); c1(x)/Q1(x)=q(x), gauname y’+p(x)y=q(x). Jei q(x)=0, tai y’+p(x)y=0…(3)- tiesine homogenine Metodai: 1)Bernulio: Turime y’+p(x)y=q(x)..(4), y=uv; Cia u=u(x) ir v=v(x) – tai x(a,b); y’=u’v+v’u…(5) (4) ir (5) i (1) u’v+v’u+p(x)uv=q(x); u(v’+p(x)v)=q(x)-u’v; v’+p(x)v=0..(6) q(x)=u’v ….(7) Is(6): dv/dx=-p(x)v dv/v=-p(x)dx, v=e-p(x)dx+c , kai c=0…(8) (8) i (7) q(x)=u’e-p(x)dx , u= ep(x)dxq(x)dx+c; y=uv=( ep(x)dxq(x)dx+c) e-p(x)dx 2)Lagranzo(konstantu variavimo): Turime tiesine nehom dif lygti y’+p(x)y=q(x)..(1); y’+p(x)y=0..(2); dy/dx=-p(x)y; y= e-p(x)dx+c(x); y’= e-p(x)dx+c(x), c=c(x) randame y’; y ir x’ i (1) Atsiskirs kintamieji ir gausime y=(x;c) (7) BERNULIO DIF. LYGTYS . y’+p(x)y=q(x)yn ..(1), p(x),q(x)-tolydzios x(a,b); a(x)y’+p(x)y=d(x)yn/(1/a(x); y’+yb(x)/a(x) =d(x) yn /a(x); b(x)/a(x)=p(x); d(x)/a(x)=q(x). Bernulio dif lygti galime spresti kaip tiesine lygti Brenulio metodu. Gaunasi sudetingas reiskinysm, paprasciau spresti pries tai lygti padalijant is y-n; y’+yp(x)=q(x) yn / y-n ;yn y-n+ y1-np(x)=q(x). Pazymim: y1-n =z…(3) Diferencijuojame: (1-n) y-n y’=z…(4); y-ny’=z’/1-n…(5) (5) ir (3) i (2); z’/1-n+zp(x)=q(x) (8)PIRMOS EILĖS DIF. LYGTYS PILNAIS DIFERENCIALAIS. Apibrezimas : Diferencialine lygtis : P(x;y)dx + Q(x,y)dy = 0 ;…(1) yra vadinama I eiles diferencialine lygtimi pilnais diferencialais , jeigu jos kairioji puse yra tam tikros funkcijos U=u(x;y) pilnas diferencialas ; t.y. du (x;y)=P(x;y)dx + Q(x;y)dy.. (2); P,Q ir u yra diferencijuojamos funkcijos srityje D ; A0) ir yra “n” eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygties sprendiniai. Jei y”+p1(x)y’+p(x)y=0, tai šios lygties sprendinys užsirašys taip: y=C1y1(x)+C2y2(x); (14) OSTROGRACKIO - LIUVILIO TEOREMA Ši teorema leidžia nustatyti antros eilės tiesinę homogeninę diferencialinę lygtį, kai žinomas tik vienas jos sprendinys. Y1(x)+y2(x), x(a,b) – tolydžios, diferencijuojamos. Šitos funkcijos yra tiesiškai nepriklausomos. Tada ir bet kuri kita y1(x)+y2(x) bus tiesiškai nepriklausoma. y1(x);y2(x);y – tiesiškai nepriklausomos. W(x)=0; Tai tada: y”|y11y12 y21’y22’| - y’|y11y12 y21”y22”| + y|y11’y12’ y21”y22”|=0; (y”A33+y’A23+yA13=0). (1) dalinam iš N(x)=|y11y12 y21y22|. Y”-y’p1(x)+yp2(x)=0, čia p1(x)= (-|y11y12 y21y22|)/W(x)=-(y1y2”-y2y1”)/W(x)=(-W(x))/W(x), nes W’(x)=(y1y2’-y2y1’)’=y1y2”-y2y1”; iš (2) gauname P1(x)dx=d(W(x))/W(x); W(x)= e-P1(x)dx+c=C e-P1(x)dx (15) ANTROS EILĖS NEHOMOGENINĖS DIF. LYGTYS . y (n) +P1(x) y (n-1) +P2(x) y (n-2) +…+Pn(x) y=f(x)…(1) Pi(x); i=1 ikin ir f(x) –tolydzios dif x(a,b); L[x]= y (n) +P1(x) y (n-1) +P2(x) y (n-2) +…+Pn(x) y; L[x]=f(x)…(2). Jei y * (x)-yra dutota lygti L[x]=f(x) atitinkancios homogenines lygties L(x)=0 bendras sprendinys, o (su bruksniu) y(x) yra L[x]=f(x) atskiras sprendinys, tai y * =(x)+(su bruk)y(x) bendro sprendinio struktura. Irodymas: y * (x)yra L[y]= bedras sprendinys, t.y. L[y * ]=0; (su bruk) y(x) yra L[y]=f(x) –atskiras sprendinys, t.y. L[(su bruk) y(x)]=f(x); L[y * +(su bruk) y]=L[y * ]+L[(su bruk)y]=0+f(x)=f(x) (16) LAGRANŽO METODAS . TIESINIŲ NEHOMOGENINIŲ DIF. LYGČIŲ TAIKYMAS LAGRANŽO METODU . Trurime y’’+p1(x)y’+p2(x)y=f(x)…(1) antors eiles tiesine nehomogenine lygtis L[x]=f(x); Sudarome: L[x]=0; y’’+p1(x)y’+p2(x)y=0 isprendziame ir randame bendra sprendini. Y=C1y1+C2y2- bendras spr. (2); y=C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x)…(3) Y’=C’1(x)y1(x)+C1(x)y’1(x)+C’2(x)y2(x)+C2(x)y’2(x); Pagal Lagranza: C’1(x)y1(x)+C’2(x)y2(x)=0 y’= C’1(x)y’1(x)+C’2(x)y’2(x)…(4); y’’= C’1(x)y’1(x)+ C1(x)y’’1(x)+C’2(x)y’2(x)+ C2(x)y’’’2(x)…(5); (3),(4),(5) statome i (1): C’1y’1+ C1y’’1+C’2y’2+C2y’’2+P1(x) (C1y’1+C2y’2)+P2(x)( C1y1+C2y2)=f(x); C1(y’’1+y’1P1(x)+y1P2(x)+C2(y’’+y’2P1(x)+y2P2(x)+C’1y’1+C’2y’2=f(x); C’1y’1+C’2y’2=f(x); C’1(x)y1+C’2y2=0 C’1y’1+C’2y’2=f(x) (17) ANTROS EILĖS TIESINĖS HOMOGENINĖS DIF LYGTYS SU PASTOVIAIS KOEF. y’’+a1y’+a2y=0…(1), L[y]=y’’+a1y’+a2y; L[y]=0; a1,a2-realus; (1)lygties bendro spr ieskosime tokiame pavidale y=ekx …(2). y’=k ekx …(3), y’’=k^2 ekx ..(4) (4), (2) ir (3) statome i (1): ekx (k2+a1k+a2)=0; ekx0 k2+a1k+a2=0 …(5)- charakteringoji lygtis. F-ja y=ekx bus (1) lygties sprendinys tik tada, kai k bus charakterigos lygties saknis. 1)k2+a1k+a2=0 k1,k2-realios, skirtingos y1=ekx , y2=ekx W(x)= ex(k1+k2)(k2-k1)0, y=C1y1+C2y2=C1 ek1x+C2 ek2x 2)Charakteringosios lygties saknys yra realio ir vienodos. k2+a1k+a2=0 Tegul y1=ek1x yra duotos dif lygties (1) spr. k1 =k2=k; y2= ek2x- nera sprendinys, nes W(x)=0. Irodysime, kad y2= ek2x yra sprendinys, jei y1= ekx – sprendinys. W(x)0. Panaudodami Ostrograskio-Liuvilio teor, kai y1= ekx, irodysime, kad y= xekx y2=y1(e-a1dx/y21)dx= ekxe0dx=xekx y=ekx(C1+C2x) jei charakteringosios lygties saknys k1=k2=k, tai : y= ekx(C1+C2x) 3) Charakteringosios lygties saknys yra kompleksines k2+a1k+a2=0 k1=+i, k2=-I; y1= e (cosx+isinx); y2= e (cosx-isinx) Teorema: Jei y=u(x)+iv(x) yra tiesines homogenines lygtiessprendinys L[y]=0, tai sio f-jos realios ir menamos dalys yra tos pacios lygties sprendinio L[u(x)]=0; L[v(x)]=0; L[u+v]=L[u]+L[v]=0, y1= ex cosx, y2= ex sinx, y= ex (C1cosx+C2sinx) 18) II EILĖS TIESINĖS NEHOMOGENINĖS DIF. LYGTYS SU PASTOVIAIS KOE. y’’ + a1y’ + a2y = f(x); ...(1) ; L[y] = f(x); L[y] = y’’ + a1y’ + a2y; a1, a2 - pastovūs, realūs sk. B.S.: y = y* + y- ; ...(2); y* - bendr. sp. L[y] = 0; y- - atskir. sp. lygties L[y] = f(x); (1) atskirą sp. y- ieškosime neapibr. koef. metodu, kai f(x)= ex (Pn(x) cosx + Qm(x) sinx); ...(3) čia Pn(x) ir Qm(x) - “n” ir “m” eilės daugianaris. 1)   nei vienai charakt. lygt. šaknų. y’’ + a1y’ + a2y = 0; k2 + a1k +a2 = 0; šaknys k1 ; k2 ;  k1  k2 ; f(x) = ex * Pn(x); ...(4); tada y- =ex * Qn(x); ...(5); Įrodymas: Jeigu (5) yra (1) sprendinys, tai ji turi tenkinti tą lygtį. y- ’’ + a1y- ‘ + a2y- = ex Pn(x); ...(6); Iš (5): y- ’ = ex * Qn(x) + ex * Qn’(x) = ex ( * Qn(x) + Qn’(x) ); ...(7) iš (7): y- ‘’ = ex ( * Qn(x) + Qn’(x)) + ex (Q’n (x) + Qn’’(x)); ...(8); (5), (7), (8)  (6):  ( * + Qn’(x) ) +  * Qn’(x) + Qn’’(x) + a1 ( Qn(x) + Qn’(x))+ a2 Qn(x) = Pn(x); Qn’’(x) + Qn’(x) (2 + a1) + Qn(x) (2 + a1  + a2) = Pn(x); y = yx + y- 2) Kai f(x) = ex * Pn(x); =k1 ; arba =k2 ; k2 + a1k + a2 = 0 šaknys, tada y- = xex Qn(x); 3) f(x) = ex Pn(x); =k1 = k2 ; k2 + a1k + a2 = 0; y- = x2 ex Qn(x); 4) k=i ; k2 + a1k + a2 = 0; f(x) = ex ( Qn(x) cos x + Qn(x) sin x); y- = ex ( A cos x + B sin x ); Jei f(x) = f1(x) + f2(x) + ... + fn(x), tada y = y* + y-1 + y-2 + ... +y-n (19) NORMALINĖS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SISTEMA . Tai tokia sistema , kurios kairėje pusėje yra nežinomų funkcujų tik pirmos eilės išvestinės , o dešinėje yra nepriklausomos kintamos ir nežinomos funkcijos . x , y , z – nepriklausomi kintamieji ; dx / dt = f 1 ( t , x , y , z ); dy / dt = f 2 ( t , x , y , z ); dz / dt = f 3 ( t , x , y , z ); Rasti : x = x ( t ); y = y ( t ); z = z ( t ); TEOREMA . Kiekviena dif . lygčių sistemą , kurią galima išspręsti I išvestinės atžvilgiu , galima pervesti į normalinę . TEOREMA . Kiekveiną “ n “ eilės dif. lygtį , išspęstą aukščiausios eilės išvestinės atžvilgiu galima pervesti į normalinę dif . lygčių sistemą . y /// = f ( x , y , y/ , y// ) ; Pažymime : y1 = y/ ; y2 = y1/ = y// ; y/// = y2/ =y1// ; y/ = y1 ; y1// = y2 ; y2/ = f ( x , y , y1 , y2 ) ; “ n “ eilės dif . lygčiai reikia įvesti ( n – 1 ) naują kintamajį ; TEOREMA. Kiekvieną normalinę dif. lygčių sistemą , įvedus pažymėjimus , galima pervesti į “ n “ eilės vieną dif. lygtį . (20) KANONINĖS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS . Tai tokios diferencialinių sistemos , kurių kiekviena lygtis išspresta nežinomūjų funkcijų aukščiausių eilių išvestinių atžvilgiu. x ; y ; z – nežinoma funkcija ; “ t “ nepriklausomas kintamasis . d 2 x / d t2 = f 1 ( t , x , y , z ; dx/dt ; dy/dt ; dz/ dt ; ) ; d 2 y / d t2 = f 2 ( t , x , y , z ; dx/dt ; dy/dt ; dz/ dt ; ) ; d 2 z / d t2 = f 3 ( t , x , y , z ; dx/dt ; dy/dt ; dz/ dt ; ) ; Kiekvieną kanoninę dif . sistemą , įvedus naujus pažymėjimus , galima pervesti į normalinę . Pažymime : dx / dt = u ; dy / dt = v ; dz / dt = w ; du / dt = f 1 ( t , x , y , z ; u ; v ; w ; ); dv / dt = f 2 ( t , x , y , z ; u ; v ; w ; ); dw / dt = f 3 ( t , x , y , z ; u ; v ; w ; ); Kanoninę dif . lygties sistemą ir be pažymėjimų galime spręstitokiu pat būdu kaip normalinę . (21) TIESINIŲ DIF. LYGČIŲ SU PASTOVIAIS KOEFICIENTAIS SISTEMOS. {dy/dx = a11y + a12z + a13u1 {dz/dx = a21y + a22z + a23u2 {dz/dx = a31 + a32z + a33u3 Tokią lygčių sist. galima spręst kaip normalinę, pervedant ją į vieną dif. lygtį. Gavę B.S.: {y=c1k1(1)er1x + c2k1(2)er2x + c3k1(3)er3x {z= c1k2(1)er1x + c2k2(2)er2x + c3k2(3)er3x {u= c1k3(1)er1x + c2k3(2)er2x + c3k3(3)er3x galime juos užrašyti prikl. nuo šaknų: a) kai šaknys skirtingos, bet realios. b) kai šakn. yra kartotinės. c) kai šakn. kompleksinės.

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!