Matematika - teorija apie matricas

 1. Matricos sąvoka. Veiksmai su matricomis. Apibrėžimas: Stačiakampė lentelė, kurioje į m eilučių ir n stulpelių surašyta skaičių, vadinama matrica. Norint pabrėžti, kad matrica turi m eilučių ir n stulpelių tai žymima ir sakoma kad tai yra formato matrica. Matrica sudaryta iš vienos eilutės, vad. matrica eilute Matrica sudaryta iš vieno stulpelio, vad. matrica stulpeliu. Jeigu , tai matrica vadinama kvadratine. Kvadratinės matricos istižainė einanti iš kairiojo viršutinio kampo vadinama – pagrindine įstrižaine, o įstrižainė einanti iš dešiniojo viršutinio kampo – šalutine įstrižaine. Kvadratinė matrica matrica, kurios pagrindinės įstrižainės visi elementa vienetai, o visi kiti elementai nuliai vad. vienetine matrica ir žymima E. Kvadratinė matrica, kurios visi elementai, esantys vienoje pagrindinės įstrižainės pusėje, yra nuliai, vad. trikampe matrica. Kvadratinė matrica, kurioje bet kurie du elementai, simetriškai išdėstyti pagrindinės įstrižainės atžvilgiu, yra lygūs, vad. simetrine matrica. Bet kokio formato matrica, kurioje visi elementai yra nuliai, vad. nuline matrica. Apibrėžimas: Dvi matricos vadinamos lygiomis, jei jų formatai vienodi ir jų atitinkami elementai yra lygūs. Matrica, gauta iš matricos A, sukeitus jos eilutes ir stulpelius vietomis vadinama matricos A transponuota matrica ir žymima . Matricų sudėtis. Dviejų vienodo formato matricų ir suma vadinama matrica , kur . Matricos daugyba iš skaičiaus. Skaičiaus k ir matricos sandauga vadinama matrica , kurios visi . Matrica, kurios visi elementai skiriasi nuo matricos A elementų tik ženklų, vadinama priešinga matrica ir žymima – A. Matricu A ir B skirtumu vadiname matricų A ir – B sumą. Matricų sudėtis, atimtis ir daugyba iš skaičiaus vadinami tiesiniais matricų veiksmais, jiems galioja: a) komutatyvumo , b) asociatyvumo c) distributyvumo . Matricos A ir B vadinamos suderintomis jei matricos A stulpelių skaičius yra lygus matricos B eilučių skaičiui. Matricų sandauga: Matricų ir sandauga vadinama matrica , kurios kiekvienas elementas yra matricos A i – tosios eilutės ir matricos B j – tojo stulpelio atitinkamų elementų sandaugų suma. . 2. Determinanto sąvoka savybės ir apskaičiavimas. Determinantas – tai skaičius, kuris pagal tam tikrą taisyklę priskiriamas kvadratinei matricai. Kvadratinės matricos determinantas žymimas vienu šių simbolių . Pirmos eilės determinantas yra lygus jį sudarančiam elementui. , tai . Antros eilės determinantas apskaičiuojamas pagal formulę: . Trečios eilės determinantas lygus šešių sandaugų sumai Determinantas, kuris gaunamas išbraukus bet kurios eilės determinante i – tąją eilutę ir j – tąjį stulpelį, vadinamas elemento minoru ir žymimas . Minoras padaugintas iš , vadinamas elemento adjunktu ir žymima . Teorema: Bet kurios eilės determinantas yra lygus bet kurios jo eilutės arba stulpelio elementų ir tų elementų adjunktų sandaugų sumai. Pasinaudojant šia teorema išvedama trečios eilės determinanto apskaičiavimo formulė. Determinantų savybės: a) determinantas nesikeičia , jei jo eilutes sukeičiame su stulpeliais. b) Determinantas turintis eilutę (stulpelį) sudarytą iš nulinių elementų lygus nuliui. c) Sukeitus vietomis dvi eilutes (stulpelius) keičiasi determinanto ženklas. d) Jei determinanto eilutės (stulpelio) elementai turi bendrą daugiklį, tai jį galima iškelti prieš determinanto ženklą. e) Determinantas nepasikeis, jei prie vienos jo eilutės (stulpelio) elementų pridėsime kitos eilutės (stulpelio) elementus padaugintus iš kokio nors skaičiaus. f) Determinantas turintis dvi vienodas eilutes lygus nuliui. g) Determinanto pakeitimo savybė: Bet kokių skaičių ir i – tosios determinanto detA eilutės (stulpelio) atitinkamų elementų adjunktų sandaugų suma yra lygi determinantui, kuris gaunamas determinante detA pakeitus i – tosios eilutės (stulpelio) elementus tais skaičiais. h) Determinanto anuliavimo savybė. Bet kurios determinanto eilutės (stulpelio) elementų ir kitos eilutės (stulpelio) atitinkamų elementų adjunktų sandaugų suma lygi nuliui. 3. Atvirkštinė matrica, kokios matricos turi tokią matricą. Išvedimas. Apibr.: Matrica, kurios determinantas , vadinama reguliariąja (neišsigimusia), matrica. Kai , tai matrica vadinama singuliariąja (išsigimusia) Apibr.: Matricos vadinamos atvirkštinėmis viena kitai, jei jų sandauga yra vienetinė matrica, t.y. . Matricai A atvirkštinė . Apibr.: Matricos A atvirkštinė matrica yra . Įrod.: Randame matricų A ir sandaugą : Pagrindinėje įstrižainėje esančios sandaugų sumos, tai i – tosis eilutės elementų ir atitinkamų adjunktų sandaugų sumos ir duoda . Nepagrindinėje įstrižainėje esančios sandaugų sumos, tai k – tosis eilutės elementų ir i – tosios eilutės atitinkamų adjunktų sandaugų sumos ir duoda 0 (determinanto anuliavimo savybė), tuomet: . Taigi matricos yra atvirkštinės. Teor.: Kiekviena reguliarioji (neišsigimusi) matrica turi atvirkštinę ir tiktai vieną. Įrod.: Tarkime, kad matrica A turi dvi atvikštines matricas B ir C . Tuomet Pasinaudoję šiomis lygybėmis gauname : . Gavome Todėl matrica A turi tik vieną atvirkštinę matricą. 4. Matricos rangas. Kaip apskaičiuojamas. Apibr.: Determinantas sudarytas iš matricos A elementų, kurie yra k eilučių ir k stulpelių sankirtose, vadinamas tos matricisos k – tos eilės minoru ir žymima Žemiausia matricos minoro eilė yra pirmoji, o aukščiausia yra . Taigi . Apibr.: Matricos aukščiausios eilės nelygus nuliui minoras vadinamas matricos baziniu minoru, jo eilė vadinama matricos rangu. Apibr.: Matricos eilutės ir stulpeliai, kurių sankirtose yra bazinio minoro elementai, vadinami bazinėmis eilutėmis ir baziniais stulpeliais. Rangas žymimas rangA arba r(A) Matricos rango savybės: a) Reguliarriosios (neišsigimusios) matricos A rangas yra lygus jos eilei, o jos bazinis minoras sutampa su matricos determinantu. b) Sutarta kad nulinės matricos rangas lygus 0. c) Iš transponuotos matricos apibrėžimo ir iš determinanto savybių seka, kad matricos A ir transponuotos matricos rangai lygūs . Norint rasti matricos rangą pagal apibrėžimą reikia atlikti daug skaičiavimų. Todėl skaičiavimams supaprastinti pasinaudosim elementariaisiais matricos pertvarkymais ir teorema: Elementarieji matricos pertvarkymai jos rango nekeičia. Elementarius pertvarkymus atliekame taip, kad kiekvienoje eilutėje ir stulpelyje gautune nedaugiau vieno nelygaus nuliui elemento. Tuomet likusių nelygių nuliui elementų skaičius yra lygus matricos rangui. 5. Tiesinės lygčių sistemos pagrindinės sąvokos. Apibr.: Tiesine lygtimi su n nežinomųjų vadinama lygtis Skaičiai , yra lygties koeficientai prie nežinomųjų, skaičius yra laisvasis narys. Apibr.: Skaičių visuma vadinama tiesinės lygties sprendiniu, kai yra tapatybė. Apibr.: Tiesinių lygčių sistema su m lygčių ir n nežinomųjų vadinama sistema: (1) Sutrumpintai žymima . Skaičiai , yra koeficientai prie nežinomųjų o , laisvieji nariai. Apibr.: Tiesinių lygčių sistema (1) vadinama homogenine, jeigu visi laisvieji bariai , jei bent vienas narys nelygus nuliui sistema nehomogeninė. Apibr.: Matrica A sudaryta išsistemos lygčių koeficientų prie nežinomųjų vadinama pagrindine sistemos matrica arba tiesiog sistemos matrica. X nežinomųjų matrica stulpelis, o B laisvųjų narių matrica stulpelis. Apibr.: Išplėstąja tiesinių lygčių sistemos matrica vadinama matrica gaunama sistemos matricą papildžius laisvųjų narių stulpeliu Apibr.: Tiesinių lygčių sistemos sprendiniu vadiname skaičių visuma, kurią įrašius į sistemą vietoj atitinkamų nežinomųjų gaunama tapatybių sistema. Apibr.: Tiesinių lygčių sistema vadinana suderita, jegu egzistuoja bent vienas šios sistemos sprendinys, priešingu atvėju nesuderinta. Apibr.: Suderinta tiesinių lygčių sistema vadinama apibrėžta, jeigu ji turi vienintelį sprendinį, ir neapibrėžta , jei turi be galo daug sprendinių. Apibr.: Dvi tiesinių lygčių sistemos su tais pačiais nežinomaisiais vadinamos ekvivalenčiomis , jeigu jų sprendiniai vienodi. Apibr.: Elementariais lygčių sistemos pertvarkiais vadinami pertvarkiai, kuriuos atlikus, gaunamos ekvivalenčios lygčių sistemos. Tokie pertvarkymai yra: a) dviejų lygčių sukeitimas vietomis, b) Lygties abiejų pusių dauginimas iš skaičiaus nelygaus nuliui, c) Vienos sistemos lygties, padaugintos iš skaičiaus, ir pridėjimas prie kitos tos pačios sistemos lygties. Šie pertvarkiai yra analogiški matricos eilučių elemetariems pertvarkiams. Apibr.: Tiesinių lygčių sistemos lygtys, kurių koeficientai sudato sistemos išplėstinės matricos bazines eilutes vadinamos bazinėmis lygtimis, o visos likusios nebazinėmis lygtimis. Apibr.: Tiesinių lygčių sistemos nežinomieji, kurių koeficientai sudato sistemos išplėstinės matricos bazinius stulpelius vadinami baziniais nežinomaisiais, o visi likusieji laisvaisiais nežinomaisiais. Tiesinių lygčių sistemos bazinės lygtys yra tiesiškai nepriklausomos. Tiesinių lygčių sistema yra ekvivalenti lygčių sistemai sudarytai iš tos sistemos bazinių lygčių. 6. TLS sprendimas atvirkštinės matricos metodu. Imkime n tiesinių lygčių su n nežinomųjų sistemą Sudarome tris matricas: Sistemos matricą A, nežinomųjų matricą stulpelį X ir laisvųjų narių matricą stulpelį B. Tuomet lygčių sistemą galime užrašyti matricine lygtimi . Sakykime, kad matrica A yra reguliari (neišsigimusi), . Tuomet galime parašyti jos atvikštinę matricą . Norėdami išspręsti matricinę lygtį, t.y. rasti nežinomųjų matricą, šios lygties abi puses padauginame iš atvirkštinės matricos iš kairės pusės. pasinaudoję matricu daugybos asociatyvumo dėsniu gauname . Tai ir yra matricinės lygties, o kartu ir lygčių sistemos sprendinys užrašytas matricine forma. 7. Kramerio formulės su išvedimu. Iš lygčių sistemos matricinio sprendinio gauname Čia determinantas gaunamas sistemos determinante i – tojo stulpelio elementus pakeitus laisvųjų narių elementais. Tuomet iš matricų lygybės seka Kramerio formulės 8. TLS tyrimas Kronekelio ir Kapelio teorema. Neieškant lygčių sistemos sprendinio, reikia nustatyti, ar duotoji sistema suderinta (turi sprendinių) ar ne suderinta. Jei sistema suderinta,tai ar ji apibrėžta (turi 1 sprendinį) ar neapibrėžta. Tiesinių lygčių sistemą pilnai nusako sistemos matrica A ir laisvųjų narių matrica stulpelis B arba išplėstoji matrica . Teorema: Tiesinių lygčių sistema yra suderinta tada ir tik tada, kai sistemos matricos rangas yra lygus išplėstosios matricos rangui, t.y. . Tai Kronekerio ir Kapelio teorema. Homogeninių tiesinių lygčių sistema visuomet suderinta, nes , nes nulinis stulpelis išplėstinėje matricoje rango nekeičia (visada turi nulinį sprendinį). Panagrinėkime suderintą lygčių sistemą , a) sistema apibrėžta tada ir tik tada, kai . b) sistema yra neapibrėžta tada ir tik tada, kai . Išvados: a) Jeigu m>n, tai sistema gali būti suderinta arba nesuderinta (jei nehomogeninė), aprėžta arba neaprėžta. b) Jeigu m

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!