Konspektai

Matematikos teoremos ir jų įrodymai

9.2   (3 atsiliepimai)
Matematikos teoremos ir jų įrodymai 1 puslapis
Matematikos teoremos ir jų įrodymai 2 puslapis
Matematikos teoremos ir jų įrodymai 3 puslapis
Matematikos teoremos ir jų įrodymai 4 puslapis
Matematikos teoremos ir jų įrodymai 5 puslapis
Matematikos teoremos ir jų įrodymai 6 puslapis
Matematikos teoremos ir jų įrodymai 7 puslapis
Matematikos teoremos ir jų įrodymai 8 puslapis
Matematikos teoremos ir jų įrodymai 9 puslapis
Matematikos teoremos ir jų įrodymai 10 puslapis
Matematikos teoremos ir jų įrodymai 11 puslapis
www.nemoku.lt
www.nemoku.lt
Aukščiau pateiktos peržiūros nuotraukos yra sumažintos kokybės. Norėdami matyti visą darbą, spustelkite peržiūrėti darbą.
Ištrauka

Matematikos teoremos ir jų įrodymai Vijeto teorema Jei redukuotoji kvadratinė lygtis turi du sprendinius, tai jų suma lygi lygties koeficientui prie x su priešingu ženklu, o sprendinių sandauga lygi laisvajam nariui. Įrodymas. Ieškome redukuotosios kvadratinės lygties x2+px+q = 0 sprendinių. Šios lygties diskriminantas D = p2 – 4q > 0. Lygtis turi du sprendinius. Raskime sprendinių sumą ir sandaugą: Gavome, jog Pastaba. Kai D = O, galima sakyti, kad redukuotoji kvadratinė lygtis turi dvi lygias šaknis, tad Vijeto teoremą galima taikyti ir šiuo atveju. Atvirkštinė Vijeto teorema. Jei skaičių m ir n suma lygi —p, o jų sandauga lygi q, tai šie skaičiai yra lygties x2+px+q= O sprendiniai. Įrodymas. Pagal sąlygą m + n = — p, o m ∙ n =q. Vadinasi, lygtį :x2 + px + q = O galima užrašyti taip: x2-(m+n)x+mn = 0 Patikrinkime, ar skaičius m yra šios lygties sprendinys. Iš tikrųjų, vietoj x įrašę skaičių m gauname: m2– (m + n)m + mn = m2 – m2– mn + mn = 0. Vadinasi, skaičius m yra lygties sprendinys. Taip atliekame ir su n. Taikant Vijeto ir jai atvirkštinę teoremas paprasta išspręsti, pavyzdžiui, tokius uždavinius: 1) sudaryti kvadratinę lygtį, kurios sprendiniai yra duotieji skaičiai; 2) nustatyti kvadratinės lygties sprendinių ženklus nesprendžiant kvadratinės lygties; 3) rasti kvadratinės lygties sprendinius netaikant sprendinių formulės. Trikampio kampų suma Teorema. Trikampio kampų suma lygi Įrodymas. Išnagrinėkime trikampį ABC. Įrodysime, kad Per viršūnę B nubrėžiame tiesę a, lygiagrečią kraštinei AC. (priešiniai kampai; , AB – kirstinė). (priešiniai kampai; , BC – kirstinė). (ištiestinis kampas). Atsižvelgę į tai, kad ir , gauname, kad arba Sinusų teoremos įrodymas Teorema. Trikampio kraštinės proporcingos prieš jas esančių kampų sinusams. Įrodymas. Sakykime, trikampio ABC kraštines AB = c, BC = a, CA = b. įrodysime, kad Remiantis trikampio ploto teorema, , , . Iš pirmųjų dviejų lygybių gauname . Iš čia . Iš pirmosios ir trečiosios lygybių taip pat išplaukia . Taigi Pastaba. Galima įrodyti, kad trikampio kraštines ir prieš ją esančio kampo sinuso santykis lygus apie trikampį apibrėžto apskritimo skersmeniui. Vadinasi, kad ir koks būtų trikampis ABC, teisingos lygybės a) b) Įrodymas. Sakykime, R – apie trikampį ABC apibrėžtas apskritimo spindulys. Įrodysime, kad , arba BC = 2R sin A. Nusibrėžkime skersmenį BD (pav.) ir išnagrinėkime DBC. Šio trikampio kampas C status, todėl BC = BD sin D. Tačiau sin D = sin A. įsitikinkime. Jei taškas D yra lanko BAC (pav., a), tai  D =  A; jei taškas D yra lanko BEC taškas (pav., b), tai  D =180 -  A. Abiem atvejais sin D = sin A. Vadinasi, BC = BD sin A, arba BC = 2R sin A. Kosinusų teorema Trikampio kraštinės ilgio kvadratas lygus kitų dviejų kraštinių ilgių kvadratų sumai minus dviguba tų kraštinių ilgių ir tarp jų esančio kampo kosinuso sandauga. Duota: BC = a, AC = b, AB = c. Įrodyti: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A, b2 = a2 + c2 – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C Įrodysime tik vieną formulę, pvz. c2 = a2 + b2 – 2ab cos C Įrodymas Trikampyje ABC kampas C gali būti: 1) statusis; 2) smailusis; 3) bukasis. 1) Kai C = 90°, tai trikampis yra statusis, todėl jam teisinga Pitagoro teorema: c2 = a2 + b2. Kadangi cos C = 0, tai šią lygybę galime užrašyti taip: c2 = a2 + b2 – 2ab cos C. Taigi teoremos teiginys yra teisingas, jis tvirtina tą patį, kaip ir Pitagoro teorema. 2) Jeigu kampas C – smailusis, tai trikampyje ABC yra dar bent vienas smailusis kampas, pavyzdžiui B. Iš viršūnės A nubrėžę aukštinę AD gauname du stačiuosius trikampius ACD ir ABD. Iš stačiojo trikampio ACD randame CD = b cos C ir AD2 = = b2 – CD2, o iš trikampio ABD randame c2 = AD2 + DB2 = = AD2 + (a – CD)2 = AD2 + a2 – 2a CD + CD2. Į šią lygybę įrašę CD ir AD2 išraiškas gauname: c2 = b2 – CD2 + a2 – 2ab cos C + CD2 = a2 + b2 – 2ab cos C. 3) Tarkime, kampas C yra bukasis. Iš viršūnės A nubrėžę aukštinę AD, gauname du stačiuosius trikampius ACD ir ABD. Iš trikampio ACD randame AD2 = b2 – CD2 ir CD = = b cos(180° - C) = b cos C, o iš trikampio ABD randame c2 = AD2 + BD2 = AD2 + + (a + CD)2 Į šią lygybę įrašę CD ir AD2 išraiškas, gauname: c2 = b2 – CD2 + a2 + 2a CD + CD2 = a2 + b2 + 2a CD = a2 + b2 – 2ab cos C. Trikampio plotai Teorema. Trikampio plotas lygus jo pagrindo ir aukštinės sandaugos pusei. Įrodymas. Sakykime, S – trikampio ABC plotas. Trikampio pagrindu pasirenkame kraštinę AB ir nubrėžkime aukštinę CH. Įrodysime, kad . Trikampį ABC papildykime iki lygiagretainio ABCD taip, kaip parodyta paveiksle. Trikampiai ABC ir DCB lygūs (pagal tris kraštines: BC – jų bendra karštinė, AB = CD ir AC = BD kaip lygiagretainio ABCD priešingos kraštinės), todėl jų plotai lygūs. Vadinasi, trikampio ABC plotas S lygus S pusei lygiagretainio ABCD ploto, t.y. . Teorema įrodyta. 1 išvada. Stačiojo trikampio plotas lygus jo statinių sandaugos pusei. 2 išvada. Jei dviejų trikampių aukštinės lygios, tai jų plotų santykis lygus pagrindų santykiui. Teorema. Trikampio plotas lygus dviejų kraštinių ir kampo tarp jų sinuso sandaugos pusei. Įrodymas. Sakykime, trikampio ABC kraštinės BC = a, CA = b, o plotas S. Įrodysime, kad Koordinačių sistemą pasirinkime šitaip: koordinačių pradžia – taškas C, teigiamoji pusašė Ox eina per tašką B, o taško A ordinatė teigiama. Nagrinėjamo trikampio plotą galima apskaičiuoti taikant formulę čia h- trikampio aukštinė. Tačiau aukštinė h lygi taško A ordinatei, t.y. h = b sin C. Vadinasi, Teorema įrodyta. Pitagoro teorema Stačiojo trikampio įžambinės ilgio kvadratas lygus statinių ilgių kvadratų sumai. Įrodymas Nagrinėsime statųjį trikampį ABC. Įrodysime, kad . Trikampį papildome iki kvadrato CC1C2C3, kurio kraštinė a + b. Tada Antra vertus, šis kvadratas yra sudarytas iš keturių lygių stačiųjų trikampių, kurių kiekvieno , ir kvadrato, kurio kraštinė c, o plotas. Tuomet Taigi . Teorema įrodyta. Pitagoro teoremai atvirkštinė teorema Jei trikampio ilgiausios kraštinės ilgio kvadratas lygus kitų dviejų kraštinių ilgių kvadratų sumai, tai šis trikampis status. Įrodymas Nagrinėsime trikampį ABC, kurio . Įrodysime, kad kampas C status. Išnagrinėkime trikampį A1B1C1, kurio statusis kampas – C1, o A1C1 = AC, B1C1 = BC. Remiantis Pitagoro teorema, , vadinasi, Tačiau - taip duota teoremos sąlygoje. Vadinasi, . Iš čia A1B1 = AB. Trikampiai ABC ir A1B1C1 lygūs pagal tris kraštines, todėl C = C1 = 90o – trikampis ABC status. Teorema įrodyta. Stačiakampio savybės Stačiakampis – tai lygiagretainis, kurio visi kampai statūs. Stačiakampio ypatinga savybė : Stačiakampio įstrižainės lygios. Paveiksle pavaizduotas stačiakampis ABCD, kurio įstrižainės AC ir BD. Statieji trikampiai ACD ir DBA lygūs ( pagal du statinius: CD = BA, AD – bendras statinis). Iš to išplaukia, kad tų trikampių įžambinės irgi lygios, t.y. AC = BD. Atvirkštinis teiginys (stačiakampio požymis): Jei lygiagretainio įstrižainės lygios, tai tas lygiagretainis yra stačiakmpis. Sakykime, lygiagretainio ABCD įstrižainės AC ir BD lygios. Trikampiai ABD ir DCA lygūs (pagal tris kraštines: AB = DC, BD = CA, AD bendra kraštinė). Tada = . Kadangi lygiagretainio priešingieji kampai lygus, tai = ir = . Taigi = = = . Lygiagretainis yra iškilasis keturkampis, todėl + + + = 360o. Vadinasi = = = = 90o, o lygiagretainis ABCD – stačiakampis. Rombo savybės Rombas – tai lygiagretainis, kurio visos kraštinės lygios. Rombo ypatinga savybė: Rombo įstrižainės statmenos viena kitai ir rombo kampus dalija pusiau. Norint įrodyti šią savybę reikia įrodyti, kad BAC = DAC. Remiantis rombo apibrėžimu, AB = AD, todėl trikampis BAD lygiašonis. Kadangi rombas yra lygiagretainis, tai jo įstrižainių susikirtimo taškas tas įstrižaines dalija pusiau. Vadinasi, AO – lygiašonio trikampio BAD pusiaukraštinė, taigi to trikampio aukštinė ir pusiaukampinė, taigi AC BD ir BAC = DAC, taigi rombo įstrižainės kampus dalija pusiau. Kvadrato savybės Kvadratas – tai stačiakampis, kurio visos kraštinės lygios. Stačiakampis yra lygiagretainis, todėl kvadratas yra lygiagretainis, kurio visos kraštinės lygios, t. y. rombas. Todėl kvadratas turi visas stačiakampio ir rombo savybes: 1. Visi kvadrato kampai statūs 2. Kvadrato įstrižainės lygios, viena kitai statmenos, Kvadrato kampus dalija pusiau. 3. Įstrižainių susikirtimo taškas kiekvieną jų dalija pusiau. Lygiagretainio savybės: Lygiagretainio priešingosios kraštinės yra lygios, priešingieji kampai lygūs. Įstrižainė AC lygiagretainį ABCD dalija į du trikampius: ABC ir ADC. Jie lygūs (pagal kraštinę AC ir du prie jos esančius kampus:

Daugiau informacijos...

Šį darbą sudaro 2010 žodžiai, tikrai rasi tai, ko ieškai!

★ Klientai rekomenduoja


Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!

Detali informacija
Darbo tipas
Lygis
Universitetinis
Failo tipas
Word failas (.doc)
Apimtis
11 psl., (2010 ž.)
Darbo duomenys
  • Matematikos konspektas
  • 11 psl., (2010 ž.)
  • Word failas 1 MB
  • Lygis: Universitetinis
www.nemoku.lt Atsisiųsti šį konspektą
Privalumai
Pakeitimo garantija Darbo pakeitimo garantija

Atsisiuntei rašto darbą ir neradai jame reikalingos informacijos? Pakeisime jį kitu nemokamai.

Sutaupyk 25% pirkdamas daugiau Gauk 25% nuolaidą

Pirkdamas daugiau nei vieną darbą, nuo sekančių darbų gausi 25% nuolaidą.

Greitas aptarnavimas Greitas aptarnavimas

Išsirink norimus rašto darbus ir gauk juos akimirksniu po sėkmingo apmokėjimo!

Atsiliepimai
www.nemoku.lt
Dainius Studentas
Naudojuosi nuo pirmo kurso ir visad randu tai, ko reikia. O ypač smagu, kad įdėjęs darbą gaunu bet kurį nemokamai. Geras puslapis.
www.nemoku.lt
Aurimas Studentas
Puiki svetainė, refleksija pilnai pateisino visus lūkesčius.
www.nemoku.lt
Greta Moksleivė
Pirkau rašto darbą, viskas gerai.
www.nemoku.lt
Skaistė Studentė
Užmačiau šią svetainę kursiokės kompiuteryje. :D Ką galiu pasakyti, iš kitur ir nebesisiunčiu, kai čia yra viskas ko reikia.
Palaukite! Šį darbą galite atsisiųsti visiškai NEMOKAMAI! Įkelkite bet kokį savo turimą mokslo darbą ir už kiekvieną įkeltą darbą būsite apdovanoti - gausite dovanų kodus, skirtus nemokamai parsisiųsti jums reikalingus rašto darbus.
Vilkti dokumentus čia:

.doc, .docx, .pdf, .ppt, .pptx, .odt