Matematinė statistika - uždaviniai su sprendimais

Pirmas uždavinys Temos: Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas. Uždavinio formulavimas Žinoma n = 50 tiriamo požymio reikšmių. Sudarykite intervalinę statistinę eilutę, kai intervalų skaičius k = 5, ir nubrėžkite santykinių dažnių histogramą. Apskaičiuokite imties vidurkį , dispersiją s2, patikslintąją dispersiją s21 bei vidutinius kvadratinius nuokrypius s ir s1. Ar apskaičiuota teisingai, pasitikrinkite, pritaikę prie imčių pateiktas kontrolines sumas: K1 = n1+n2+n3; K2= x + s2+s21; Sprendimas Žinoma 50 tiriamo požymio reikšmių: 2.5 1.3 1.5 3.7 0.6 0.1 2.7 0.7 1.5 1.5 0 3.2 1.8 5 1.1 1.2 2.7 3.6 1.4 1.3 3 4.2 0.4 2.1 3.6 4.8 2.9 2.4 1 1.2 1.7 2.3 4.2 2.3 2.3 2.9 2.7 3.7 2.4 1.3 1.6 2 1.3 2.5 0.6 2.2 2.7 1.6 3.1 2.1 Be to, žinomos šio uždavinio kontrolinės sumos: K1n1+n2+n339; K2 +s2+s124,8704 Sudarykime intervalinę statistinę eilutę, kai intervalų skaičius k  5, apskaičiuokime santykinių dažnių histogramos stačiakampių aukščius ir nubrėžkime histogramą. Numeris i Intervalai Absoliutieji dažniai ni Santykiniai dažniai i Aukščiai hi 1 0,0; 1,0) 6 0,12 0,12 2 1,0; 2,0) 16 0,32 0,32 3 2,0; 3,0) 17 0,34 0,34 4 3,0; 4,0) 7 0,14 0,14 5 4,0; 5,0 4 0,08 0,08  50 1 Ar teisingai gavome absoliučiuosius dažnius ni, pasitikriname pritaikę prie imties pateiktą kontrolinę sumą: K1n1+n2+n35+12+15=39 Santykinių dažnių histogramos stačiakampių aukščiai. Apskaičiuojame imties vidurkį: Patikslintąją dispersiją: Vidutinis kvadratinis nuokrypis: Imties vidutinį kvadratinį nuokrypį ir dispersiją: Ar teisingai gavome skaitines charakteristikas, pasitikriname pritaikę prie imties pateiktą kontrolinę sumą: Antras uždavinys Temos: Normaliojo skirstinio N(a,): Vidurkio (matematinės vilties) a pasikliautinasis intervalas, kai vidutinis kvadratinis nuokrypis  žinomas; Vidurkio a pasikliautinasis intervalas, kai  nežinomas. Uždavinio formulavimas a) Žinoma, kad atsitiktinis dydis X yra normalusis, t.y. XN(a,2). Jo parametras  yra lygus 1 uždavinyje gautam s1, kuris imamas su vienu ženklu po kablelio (neapvalinant), t.y. . Turėdami imtį, kurios didumas n  50, ir parinkę pasikliovimo lygmenį 0,99, raskite parametro a pasikliautinąjį intervalą, kai  žinomas. b) Žinoma, kad atsitiktinis dydis X yra normalusis, t.y. X(a,2). Turėdami imtį, kurios didumas n  50, taikydami 1 uždavinyje gautas x ir s1 reikšmes, parinkę pasikliovimo lygmenį   0,95,raskite parametro a pasikliovimo intervalą, kai  nežinomas. c) Turėdami imtį, kurios didumas n  50, taikydami 1 uždavinyje gautas x ir s1 reikšmes, parinkę pasikliovimo lygmenį   0,95, raskite parametro  pasikliovimo intervalą, kai a nežinomas Sprendimas Normaliojo atsitiktinio dydžio nežinomo parametro a pasikliautinasis intervalas, kai vidutinis kvadratinis nuokrypis  žinomas, apibrėžiamas lygybe: arba trumpiau: čia . yra standartinio normaliojo (normuotojo) skirstinio N(0,1) kritinė reikšmė. Ją galima rasti lentelėje. , imties didumas n50, vidurkis =2,17, vidutinis kvadratinis nuokrypis s11,16496. Tuomet 1,16496. Taigi a pasikliautinasis intervalas (0,01 tikslumu), kai  nežinomas, su pasikliovimo lygmeniu γ=0,99 yra (1,75; 2,59) b) Normaliojo atsitiktinio dydžio nežinomo parametro a pasikliautinasis intervalas, kai  nežinomas, apibrėžiamas lygybe: Trumpiau: čia yra Stjūdento skirstinio su v  n –1 laisvės laipsnių kritinė reikšmė iš lentelės: Tuomet, kai imties didumas n50, imties vidurkis 2,17, imties vidutinis kvadratinis nuokrypis s11,16496: Taigi a pasikliautinasis intervalas (0,01 tikslumu), kai  nežinomas, su pasikliovimo lygmeniu γ=0,95 yra (1,84; 2,5). c) Raskime  pasikliautinąjį intervalą , kai a nežinomas. Šio intervalo išraiška: , čia ; yra skirstinio kritinės reikšmės. Vidutinis kvadratinis nuokrypis s1=1,16496, taigi  pasikliautinasis intervalas: Trečias uždavinys Tema: Neparametrinių hipotezių tikrinimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma 50 požymio reikšmių (žr. pirmojo uždavinio imtį). Atsižvelgiant į 1 uždavinyje nubrėžtos santykinių dažnių histogramos pavidalą, suformuluoti neparametrinę hipotezę H1:X ~N (a,). Patikrinkite šią hipotezę, parinkę reikšmingumo lygmenį ir pritaikę suderinamumo kriterijų. Ar teisingai apskaičiuota, pasitikrinsime pritaikę prie imties pateiktas kontrolines sumas: K= p1+p2+p3; K= b) Žinoma 50 požymio reikšmių. Apskaičiuokite imties skaitines charakteristikas. Sudarykite intervalinę statistinę eilutę, kai intervalų skaičius k=5, nubrėžkite santykinių dažnių histogramą, atsižvelgę į jos pavidalą, suformuluokite neparametrinę hipotezę ε (λ), t. y. Atsitiktinis dydis X yra rodiklinis (eksponentinis). Šią hipotezę patikrinkite, parinkę α = 0,05 ir pritaikę2 kriterijų. Ar teisingai apskaičiuota, pasitikrinkite pritaikę prie imčių pateiktas kontrolines sumas: K1 = n1+n2+n3; K2  p1  p2  p3 ; K3    . c) Žinoma 50 požymio reikšmių.Sudarykite intervalinę eilutę , kai intervalų skaičius k=5, nubrėžkite santykinių dažnių histogramą. Pagal jos pavidalą suformuluokite neparametrinę hipotezę([a;b]), t. y., kad atsitiktinis dydis X yra tolygusis. Šią hipotezę patikrinkite, parinkę   0,05 ir pritaikę 2 suderinamumo kriterijų. Ar teisingai apskaičiuota, pasitikrinkite pritaikę prie imčių pateiktas kontrolines sumas: K2    . Sprendimas: a) i Integralai ni pi npi 1 0,0; 1,0) 6 0,1562 7,81 0,41918 2 1,0; 2,0) 16 0,284 14,2 0,22676 3 2,0; 3,0) 17 0,3238 16,19 0,0405 4 3,0; 4,0) 7 0,1799 8,99 0,4405 5 4,0; 5,0 4 0,0559 2,795 0,51951 50 1 50 1,64645 Esame gavę, kad imties vidurkis  2,17, o vidutinis kvadratinis nuokrypis s  1,15326. Tikimybė bendruoju atveju lygi: čia ir Laplaso funkcijos reikšmės: Apskaičiuojame tikimybes pi. Jos lygios Laplaso funkcijos reikšmių skirtumui: Apskaičiuojame sandaugas npi, reiškiančias reikšmių patekimo į i-ąjį intervalą teorinius dažnius, kriterijaus narius ir 1,64645 Parinkę reikšmingumo lygmenį ir normaliojo skirstinio atveju apskaičiavę laisvės laipsnių skaičių , skirstinio reikšmių lentelėje randame Kadangi tai hipotezė H1:X ~N (a,) tenkinama. b) Žinoma 50 požymio reikšmių ir kontrolinės sumos: 1.4 1 1 0.4 1 0.2 5 0.1 0.7 0.6 0.4 3.2 4.1 0.3 0.3 2.8 0.7 1.3 0.1 1.9 0.1 1.9 0.5 4.4 0.7 1.2 1.8 2.7 0.1 0 2.2 2.2 1.4 3.9 0.8 1 3.9 1.7 0.6 1.3 0.8 1.5 1.9 3.4 3.1 0 2.1 2 2.8 2.5 Sudarykime intervalinę statistinę eilutę, kai intervalų skaičius k=5: Numeris Intervalai Dažniai 1 [0; 1) 19 2 [1; 2) 15 3 [2; 3) 8 4 [3; 4) 5 5 [4; 5] 3 50 Patikriname dažnius pagal kontrolinę sumą Apskaičiuokime imties vidurkį Tuomet . Atsižvelgę į dažnius arba į histogramos pavidalą( žr. 2 pav.), suformuluokime neparametrinę hipotezę ir ją patikrinkime, parinkę reikšmingumo lygmenį ir pritaikę suderinamumo kriterijų. Santykiniu dažnių histograma. Ieškome tikimybių: p= Apskaičiuotas tikimybes pasitikrinkime pagal kontrolinę sumą: . Radę tikimybes , apskaičiuojame ir (žr. lentelę): Intervalai 1 [0,0; 1,2) 19 0,43391 21,6905 0,334 2 [1,2; 2,4) 15 0,24604 12,302 0,59171 3 [2,4; 3,6) 8 0,13865 6,9325 0,16437 4 [3,6; 4,8) 5 0,07874 3,935 0,28824 5 [4,8; 6,0] 3 0,102764 5,138 0,88965 50 1,000 50 2,2677 Pasitikriname narius pagal kontrolinę sumą ; Taigi 2,27. Parinkę reikšmingumo lygmenį ir apskaičiavę rodiklinio skirstinio atveju laisvės laipsnių skaičių skirstinio kritinių reikšmių lentelėje randame = 7,815. Kadangi 0 ). Ar teisingai apskaičiuota, patikrinti pagal pateiktas kontrolines sumas: K= ; K= ; K= K=66,76723 K=103,47043 K=4,173; Sprendimas X\Y 80 93 100 110 35 4 4 8 41 4 8 3 15 53 3 15 8 1 27 66 8 13 2 23 75 4 4 7 11 35 27 7 80 Apskaičiuoju imties vidurkius ir vidutinius kvadratinius nuokrypius: ; 5249,41 Tuomet imties koreliacijos koeficientas: Regresijos koeficientas; koeficientas Tuomet tiesinės regresijos lygtis: =; Kai =0,95 tai pasikliautinis intervalas

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!