Planimetrijos kartojimas

1 Planimetrijos kartojimas 1. Sinusų teorema. Trikampio kraštinės proporcingos prieš jas esančių kampų sinusams, o trikampio kraštinės ir prieš ją esančio kampo sinuso santykis lygus apie tą trikampį api - brėžto apskritimo skersmeniui: čia a, b, c – trikampio kraštinės, R – apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulys. 2. Kosinusų teorema. Trikampio kraštinės kvadratas lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai minus dviguba tų kraštinių ir tarp jų esančio kampo kosinuso sandauga: 3. Jei apskritimas įbrėžtas į trikampį, tai: a) Įbrėžto apskritimo spindulys gali būti apskaičiuojamas pagal formulę: , čia S – daugiakampio, į kurį įbrėžtas apskritimas, plotas, p – daugiakampio pusperimetris. b) Įbrėžto į trikampį apskritimo centras yra pusiaukampinių susikirtimo taške. 4. Jei apskritimas apibrėžtas apie trikampį, tai a) apskritimo centras yra kraštinių vidurio statmenų susikirtimo taškas. b) Jei apskritimas apibrėžtas apie statųjį trikampį, tai apskritimo centras yra įžambinės vidurio taškas. c) Jei apskritimas apibrėžtas apie lygiašonį ( lygiakraštį) trikampį, tai svarbu, kur yra apskritimo centras: aukštinėje ar jos tęsinyje. Universalus šio tipo uždavinių sprendimo būdas - pratęsti aukštinę iki apskritimo ir gautą apskritimo tašką sujungti su pagrindo viršūne. d) Kitais atvejais praverčia formulės, skirtos apibrėžtinio apskritimo spinduliui apskaičiuoti: čia a, b, c – trikampio kraštinės, S – trikampio plotas. 5. Jei keturkampis apibrėžtas apie apskritimą, tai priešingų kraštinių sumos yra lygios. Apie apskritimą galima apibrėžti kvadratą, rombą, trapeciją. 6. Jei keturkampis įbrėžtas į apskritimą, tai priešingų kampų sumos lygios 1800. Į apskritimą galima įbrėžti stačiakampį, kvadratą, lygiašonę trapeciją. 7. Pusiaukraštinių savybių taikymas. a) Atkarpa, jungianti trikampio viršūnę su priešais esančios kraštinės vidurio tašku, vadinama pusiaukraštine. b) Trikampio pusiaukraštinės susikerta viename taške, kuriame dalija viena kitą santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės. c) Pusiaukraštinių susikirtimo taškas vadinamas sunkio centru. d) Trikampio pusiaukraštinė dalija trikampio plotą pusiau. e) Trikampio pusiaukraštinės susikirsdamos dalija trikampį į tris arba šešis lygiapločius trikampius: f) Pusiaukraštinės ilgį galima apskaičiuoti pagal formulę: 2 8. Trikampio ploto formulės: a) b) c) Herono formulė:, čia a, b, c – trikampio kraštinės, p – pusperimetris. d) S = p r, čia p – pusperimetris, r – įbrėžto į trikampį apskritimo spindulys. e) , čia a, b, c – trikampio kraštinės, R –apibrėžto apskritimo spindulys. f) g) a a a 9. Pusiaukampinių savybių taikymas. a) Trikampio pusiaukampinė yra atkarpa, išvesta iš kampo viršūnės ir dalijanti kampą pusiau. b) Pusiaukampinės susikerta viename taške, kuris yra įbrėžto į trikampį apskritimo centras. c) Trikampio kampo pusiaukampinė dalija kraštinę į atkarpas, proporcingas kampą sudarančioms kraštinėms: 10. Trikampio aukštinės savybės. a) Trikampio aukštinė yra atkarpa, išvesta iš trikampio viršūnės ir statmena prieš ją esančiai kraštinei. b) Trkampio aukštinės arba jų tęsiniai susikerta viename taške. c) Stataus trikampio aukštinė, nubrėžta į įžambinę, yra geometrinis vidurkis atkarpų, į kurias aukštinė dalija įžambinę: d) Bet kuris statinis yra geometrinis vidurkis įžambinės ir to statinio projekcijos įžambinėje: e) Smailiojo trikampio aukštinės susikerta trikampio viduje, stataus – stataus kampo viršūnėje, bukajame trikampyje susikerta ne aukštinės, o jų tęsiniai trikampio išorėje. 11. Uždaviniai su plotų santykiu. a) Panašiųjų daugiakampių plotų santykis lygus panašumo koeficiento kvadratui. b)Jei trikampiai turi bendrą kampą, tai jų plotų santykis lygus kampą sudarančių kraštinių sandaugų santykiui: c) Jei dviejų trikampių aukštinės lygios, tai jų plotų santykis lygus pagrindų santykiui: d) Jei dviejų trikampių pagrindai lygūs, tai jų plotų santykis lygus aukštinių santykiui: 3 12. Trapecijos savybių taikymo uždaviniai. a) Trapecijos vidurinė linija yra lygiagreti pagrindams ir lygi pagrindų sumos pusei. b) Atkarpa, jungianti trapecijos įstrižainių vidurio taškus, yra lygiagreti pagrindams ir lygi pagrindų skirtumo pusei. c) Trapesijos plotas lygus pagrindų sumos pusės ir aukštinės sandaugai. d) Trapecijos plotas lygus įstrižainių ir sinuso kampo tarp jų sandaugos pusei. e) Trapecijos įstrižainė dalija trapeciją į du trikampius, kurių plotų santykis lygus pagrindų santykiui. 13. Jei trikampis statusis, tai: 14. Lygiagretainis a) priešingosios kraštinės lygios; b) priešingieji kampai lygūs; c) prie vienos kraštinės esančių kampų suma lygi 1800; d) visų kampų suma lygi 3600; e) įstrižainės susikirsdamos viena kitą padalina pusiau; f) įstrižainių kvadratų suma lygi visų kraštinių kvadratų sumai: AC2+BD2 = 2(AB2+BC2) g) plotas: α 3) S = d1d2sinβ, čia a, b – lygiagretainio kraštinės, d1,d2 – įstrižainės, α – lygiagretainio kampas, β - kampas tarp įstrižainių. 15. Rombas a) rombas pasižymi visomis lygiagretainio savybėmis, b) įstrižainės yra kampų pusiaukampinės; c) įstižainės statmenos; d) rombo aukštinė yra lygi į rombą įbrėžto apskritimo skersmeniui; e)AC2 + BD2 = 4 AB2. f) plotas: 1) S = ah; 2) S = a2 sin α; 3) S = d1d2; 4) S = pr, čia -rombo kraštinė, α rombo kampas, d1, d2 – įstrižainės, p –pusperimetris, r – įbrėžto apskritimo spindulys. 16. Stačiakampis a) stačiakampio įstrižainės lygios; b) įstrižainė yra apie stačiakampį apibrėžto apskritimo skersmuo; c) plotas: 1) S = ab; 2) S = d2sinα, čia a, b – kraštinės, d – įstrižainė, α – kampas tarp įstrižainių. 17. Kvadratas. a) įstrižainės lygios; b) įstrižainės yra kampų pusiakampinės; c) įstrižainės statmenos; d) plotas: 1) S = a2; 2) S = pr; 3) S = d2. 4 18. Kampai: a) dvi lygiagrečias tieses perkirtus trečiąja susidaro: 1) lygūs priešiniai kampai; 2) lygūs atitinkamieji kampai; 3) vienašaliai kampai, kurių suma lygi 1800. b) Kampas, kurio viršūnė yra apskritimo centras, vadinamas centriniu. Jo didumas lygus lanko, į kurį remiasi kampas, kampiniam didumui. c) Kampas, kurio viršūnė yra apskritimo taškas, vadinamas įbrėžtiniu kampu. Jo didumas lygus pusei lanko, į kurį remiasi. d) Įbrėžtiniai kampai, kurie remiasi į tą patį lanką, lygūs. e) Įbrėžtinis kampas, kuris remiasi į pusapskritimį, yra status. 19. Liestinių savybės. a) Lietimosi taške liestinė statmena apskritimo spinduliui. b) Liestinių, nubrėžtų iš vieno taško, atkarpos iki lietimosi taškų yra lygios c) Jei MA ir MB – apskritimo liestinė ir kirstinė, išeinančios iš vieno taško, tai 20. Kirstinių savybė. Jei KA ir KC – dvi apskritimo kirstinės, išeinančios iš vieno taško K ir kertančios apskritimą taškuose C ir D, tai 21. Stygų savybė Jei AB ir CD – dvi taške M susikertančios apskritimo stygos, tai 22. Iškilasis daugiakampis Iškilojo n - kampio vidaus kampų suma lygi 1800(n – 2), Įstrižainių skaičius lygus 23.Skritulys ir jo dalys. Skritulio plotas S= πr2. Skritulio išpjovos plotas: čia r – apskritimo spindulys, α – lanko laipsninis matas. Skritulio nuopjovos plotas: α1800

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!