Finansų ekonomika

1. Procentai 1.1 Procentai ir promilės Dažnai gyvenime kalbame apie įv. Dydžių dalis: trečdalis kelio, pusė resursų. Tačiau tos dalys kartais gali būti per didelės. Tada naudojamos yra šimtosios dalys, kurios vadinamos procentais. Procentai žymimi %. Vienas procentas yra 1/100 vieneto dalis: 1%=1/100= =0,01. Todėl p%=p/100. Dažniausiai naudojami procentai: 100%=1, 75%=3/4,10%=0,1. Procentai dažniausiai naudojami rasti skaičiaus daliai. Jei reikia rasti ¾ skaičiaus a, pirma surandame ketvirtadalį a/4, o po to paimame tris ketvirtadalius. Tačiau dalį b galime rasti daugindami iš ¾: b=a*3/4. Norint rasti p% skaičiaus a, reikia ieškoti p/100 to skaičiaus, todėl ieškomoji dalis yra lygi b=a* p/100. Kartais ir 1/100 yra per didelė dalis. Tada naudojama 1/1000 dalis, kuri vadinama promile ir žymima %o, t.y. 1%o =1/1000=0,001, p%o = p/1000. Todėl 10%o =1%. 1.2 Pagrindiniai procentų uždaviniai Svarbiausias iš jų yra rasti skaičiaus a dalį, kurį sudarytų jo p%. Dalį randame daugindami. Todėl, jei ieškomąją dalį pažymėsime b, b=a*p/100. Iš šios formulės galime rasti duotąjį skaičių a=100/p *b arba kiek procentų sudaro b skaičiaus a, p=b/a *100. 2.Palūkanos 2.1 Pagrindinės sąvokos. Ūkio subjektai norėdami išplėsti savo veiklą skolinasi iš banko pinigų. Už pinigų pasiskolinimą jie moką palūkanas. Tas kuris skolina yra kreditorius, o tas kuris skolinasi – debitorius. Paskolinus pinigus privačiam asmeniui ar bankui yra rizika, kad jų nebeatgausi, už tą riziką ir reikia mokėti palūkanas, kuo didesnė rizika, tuo didesnės palūkanos ir atvirkščiai. Palūkanos skaičiuojamos tam tikrais laiko tarpais (periodais(n)). Paskolinto kapitalo k didumas po n periodų vadinamas sukauptąja verte ir žymimas A(n)=k*a(n). Pagrindinės kaupimo funkcijos savybės: 1) a(0)=1 2) kai finansinė veikla pelninga, a(t) yra didėjanti funkcija. 3) kadangi periodui nepasibaigus kapitalas nėra nei didinamas, nei mažinamas, palūkanos priskaičiuojamo tik pasibaigus periodui, tai a(t) yra laiptuoto pavidalo. Sukauptosios vertės ir pradinio kapitalo skirtumas vadinamas palūkanomis. Jos yra sudarytos iš palūkanų, priskaičiuotų kiekvieno periodo gale. Palūkanas, gautas už n- tajį periodą, žymėsime In. In =A(n)-A(n-1). Palūkanos per n periodų yra A(n)-A(0)=I1+I2+…+In. vieno piniginio vieneto palūkanos per n-ąjį periodą vadinamos palūkanų norma ir žymimos in. in=In/A(n-1) =(A(n)-A(n-1))/A(n-1). Jei palūkanų norma pastovi a(1)=1+i. i-išreiškiama procentais arba trupmena. 2.2 Paprastosios palūkanos. Jeigu a(t)=1+it, tai palūkanos yra skaičiuojamos pagal paprastuosius procentus ir vadinamos paprastosiomis. Tada sukauptoji vertė apskaičiuojama pagal formulę: A(t) =A(0)(1+it), o palūkanos už n periodą yra In =A(n) – A(n-1)= A(0)(1+in)-A(0)(1+I(n-1))=A(0)i, t.y. kiekvieną periodą tokios pat. Tada palūkanos yra per n periodų A(n)-A(0)=A(0)in, sukauptoji vertė po n periodų yra lygi: A(n)=A(0)(1+in). jei palūkanos skaičiuojamos bet kurio ilgio laikotarpiui t, tai augimo funkcija yra kylanti aukštyn (nuolaidžiu kampu) tiesė. A(t) 1 0 1 2 3 t Laikotarpio trukmei tarp dviejų datų nustatyti naudojami keturi būdai: 1.Kiekvieni metai laikomo 365 dienos, o metų dalis nustatoma pagal tikrą dienų skaičių.(JAV, Japonija, Lietuva). 2.Metai laikomi 360 dienų, o kiekvienas mėnuo lygus 30dienų. Jis vadinamas vokiškuoju. (Vokietija, Švedija, Europos Sąjunga) 3.Metai laikomi 360 dienų, o mėnesiai faktinis dienų skaičius. (Prancūzija, Belgija, Ispanija, Šveicarija). Jis vadinimas bankiniu. 4. Faktinis/Faktinis metai 365 arba 366 ir mėnesiai, kiek yra iš tikrųjų dienų. 2.3 Sudėtinės palūkanos. Palūkanų skaičiavimas nuo sukauptosios vertės vadinamas sudėtiniais procentais, o palūkanos sudėtinėmis. Jeigu į banką padėsime 6000 Lt su 5% palūkanomis, tai po metų ši suma bus: 6000(1+5%)=6300 (Lt). Tai vadinasi k(1+i), jei laikysime pinigus toliau, tai suma kuri buvo antrųjų metų pradžioje reikės dauginti iš 1+i ir tęsdami toliau randame, kad: Po 2 m. bus k(1+i) (1+i)=k(1+i)2 Po 3 m. bus k(1+i)2(1+i)=k(1+i)3 Po n m. bus k(1+i)n-1(1+i)=k(1+i)n Todėl po n periodų sukauptoji vertė bus A(n)= =k(1+i)n. Kadangi A(0)=k, tai A(n)=A(0)(1+i)n , o sudėtinių palūkanų per n periodų susidarys I=A(n)-A(0)=A(0)((1+i)n-1). Sudėtinių palūkanų kaupimo funkcija yra a(n)= (1+i)n, n – sveikasis teigiamas skaičius. a(t) 1 0 1 2 3 t Abiems šalims susitarus, sukauptoji vertė gali būti skaičiuojama ne vien tik periodo pabaigoje, bet ir bet kuriam laikotarpiui t, išreikštam metais. Formulėse a(t)=(1+i)t ir A(t)=A(0)(1+i) t argumentai t yra neneigiami realieji skaičiai. Esant didelei infliacijai naudojamas antisipa-tyvusis metodas. Pagal šį metodą palūkanos skaičiuojamos kiekvieno periodo pradžioje nuo tos sumos, kuri bus periodo pabaigoje. Esant pradiniam kapitalui A(0) ir metinei palūkanų normai i, po n periodų kapitalas užaugs iki: A(n)=A(0)/(1-i)n 2.4 Kapitalo dvigubėjimas finansinei analizei naudingos taisyklės, pagal kurias greitai ir mintinai randame apytikslį atsakymą. Kapitalo dvigubėjimo uždaviniui yra “72 taisyklė”: jeigu kiekvienų metų gale skaičiuojamos p% sudėtinės palūkanos, metų skaičius n, per kuriuos padvigubėja kapitalas yra lygus: n@72/p. ją paskelbė italų matematikas Luca Pacioli, nors tai buvo seniai, bet ši taisyklė naudojama iki šiol. Kapitalas padvigubėja: (1+p/100)n=2, iš čia np=p*ln2/ln(1+p/100). Taigi jei investavome su 4% sudėtinių palūkanų, jis padvigubės po 72/4=18(metų). Paklaidai charakterizuoti yra sudarytos lentelės. Žinodami logaritmo eilutę, galima “72 taisyklę” patikslinti iki taip vadinamosios “69 taisyklės”, pagal kurią n~0,35+69/p. 2.5 Nominalioji ir veiksmingoji palūkanų normos. 1 piniginio vieneto prieaugis per metus, kai palūkanos skaičiuojamos tik vieną kartą metų pabaigoje, vadinamas nominaliąja palūkanų norma. Ji išreiškiama keliais būdais: i=a(1)-a(0)=(a(1)-a(0))/a(0)=(A(1)-A(0))/A(0)= =I1/A(0).Todėl a(1)=1+i. Kai palūkanos skai-čiuojamos tik vieną kartą per metus 1 piniginio vieneto sukauptoji vertė randama: a(n)=1+in arba a(n)=(1+i)n. kai palūkanos yra paprastosios, 1 piniginis vienetas per metus n-ąjį periodą duoda a(n)-a(n-1)=(1+in)-(1+i(n-1))=i palūkanų. Kai palūkanos sudėtinės, per n–tąjį periodą 1 piniginiam vienetui tenka (a(n)-a(n-1))/a(n-1)=((1+i)n -(1+i)n-1) /(1+i)n-1 =i palūka-nų. 1 piniginio vieneto prieaugis per pirmuosius metus vadinamas veiksmingąja palūkanų norma. Palyginus veiksmingąją ir nominaliąją palūkanų normas matome, kad abi yra lygios pagal apibrėžimus, i=ieff . VPN, kai m>1, randame iš lygybės: 1+ ieff =(1+i(m)/m)m. vadinasi VPN ieff =(1+i(m)/m)m –1, pritaikome Niutono binomo formulę ieff =i(m)+ m(m-1)/1*2 (i(m)/m)2+…+(i(m)/m)m . Vadinasi ieff >= i(m) , veiksmingoji palūkanų norma niekada nėra mažesnė už nominaliąją. 2.6 Palūkanų nuolatinis skaičiavimas. Tarkime, kad nominalioji palūkanų norma yra i(m), t.y. palūkanos per metus perskaičiuojamos m kartų. Sukauptoji vertė skaičiuojant pagal pa-prastuosius procentus per t metų yra A(t) = =k(1+ i(m)*m*t /m)=k(1+i(m)t). Vadinasi, kai palūkanos skaičiuojamos pagal paprastuosius procentus, jų skaičiavimo dažnumas neturi jokios įtakos sukauptosios vertės dydžiui, o skaičiuojant pagal sudėtinius procentus, sukauptoji vertė lygi A(t) = k(1+i(m)/m)mt. Palūkanų skaičiavimo dažnumas per metus turi reikšmės sukauptosios vertės dydžiui. Todėl kuo dažniau skaičiuosime palūkanas, tuo didesnė sukauptoji vertė per tą patį laikotarpį bus. Bet jei skaičiuosime kas valandą ar dažniau, tai jau sukauptai pinigų sumai per metus beveik nebėra skirtumo, nes nuo tūkstančio litų sumos skirtumas ar kas valandą ar kas minutę yra tik šimtatūkstantoji dalis nuo 1000Lt pradinio įnašo.Taip skaičiuojant palūkanas sukauptoji vertė yra: A(t) =ke¶t . Čia ¶ yra nominalioji palūkanų n., o t-metų sk. Skaičiuojant palūkanas nuolat, per t metų jų susidaro I=A(t) –A(0)=k(e¶t-1). Jeigu palūkanos skaičiuojamos nuolat, veiksmingoji palūkanų norma lygi ieff =e¶-1. 2.7 Diskontas Vertybinio popieriaus pirkimas, atskaitant dalį jo būsimosios vertės, vadinamas diskontu. Vertybinio popieriaus pirkimo kaina vadinama diskontuotąja verte. Diskontu vadinama ir nuolaida, kurią padaro tiekėjas klientui, už tai, kad jis tuoj sumoka grynais pinigais arba perka daug pirkinių. Diskontas yra matematinis ir bankinis. Matematinis – kai kredito dokumento diskontuotoji vertė apskaičiuojama iš sukauptosios vertės formulės. S- galutinė suma, P- diskontuotoji vertė. S=P(1+in), tai diskontuotoji vertė P=S/(1+in) (jei skaičiuojama pagal paprastuosius procentus), jei sudėtinės palūkanos:S=P(1+i)n;P=S/(1+i)n. Skaičiuojant diskontą matematiniu metodu, pirkėjas negauna jokio pelno. Todėl yra naudojamas bankinis diskontas. Čia yra nustatoma diskonto norma. Tai vieno periodo atsiskaitymo dalis nuo galutinės sumos (d). Paprastasis diskontas: P=S(1-dt), kur 0=0. Diskonto norma, kaip ir palūkanų n., gali būti nominalioji ir veiksmingoji. Jei diskontavimo periodas lygus metams tai nominalioji, jei kelis kartus per metus – veiksmingoji. Kai palūkanų norma lygi i, sąryšį tarp matematinio ir bankinio diskontų normų randame iš lygties: S/(1+i)=S(1-d). Randame, kad i=d/(1-d), o iš čia d=i/(1+i). Šį sąryšį galime paaiškinti, priimdami prielaidą, kad vieneriems metams diskontuojame sumą S. Todėl dabar ji verta P=S(1-d). Suma P per metus išaugs į P(1+i)=P(1+d/(1-d))=P* 1/(1-d)=S. 2.8 Funkcinė lygtis. Palūkanos skaičiuojamos pagal paprastuosius procentus, jei kaupimo funkcija a(t) tenkina funkcinę lygtį a(t+s)=a(t) +a(s)-1, t>=0, s>=0. Kaupimo funkcija a(t)=1+it, tenkina šią lygtį. Įrodysime, kad teisingas atv. teiginys. Pirma, iš funkcinės lygties galime gauti diferencialinę lygtį a’(t)=lims-0(a(t+s)-a(t))/s = lims-0(a(s)-1)/ /s= lims-0(a(s)-a(0))/s =a’(0). Todėl d(a(t))= =a’(0)dt; St0d(a(t))=a’(0)t (St0 –difer. Ženklas); a(t)|0t =a’(0)t; a(t)-a(0)=a’(0)t. Įrašę čia t=1 randame, kad a(1)-a(0) =a’(0), i=a’(0), a(t)-1=it, a(t)=1+it, ką ir reikėjo įrodyti. Palūkanos yra skaičiuojamos pagal sudėtinius procentus, kai kaupimo funkcija a(t) tenkina funkcinę lygtį a(t+s)=a(t)*a(s), t>=0, s>=0, o kaupimo funkcija a(t)=(1+i)t , t>=0. Atv. teiginį įrodome taip pat kaip ir pirmąjį atveją. Iš funkcinių lygčių randame, kad nei parastiesiems procentams, nei sudėtiniams procentams, kaupimo funkcijos pokytis, kai argumentas t, nepriklauso nuo t didumo. a(t+s)-a(t) ir (a(t+s)-a(t))/a(t). 3.Periodiniai mokėjimai 3.1 Finansinė renta Periodinių mokėjimų srautas vadinamas finansine renta. Norėdami sukaupti lėšų ar grąžinti skolą, periodiškai įmokame indėlius. Jeigu esame numatę kas tam tikrą laiko tarpą mokėti n indėlių, o už kiekvieną periodą palūkanos yra i, tai pirmoji įmoka C1 per n periodų užaugs į C1(1+i)n , antroji į C2(1+i)n-1 ir t.t. Jeigu įmokos mokamos periodo pradžioje, tai paskutinė įmoka dar užaugs Cn(1+i), o jei gale, tai nuo jos palūkanos nebepriklauso. Jei palūkanos mokamos periodo pabaigoje, jos per n periodų užaugs: C1(1+i)n-1 + C2(1+i)n-2+…+Cn=Snk=1Ck(1+i)n-k, o jei periodo pradžioje tai:C1(1+i)n + C2(1+i)n-1+...+Cn(1+i)=Snk=1Ck(1+ +i)n-k+1. Būsimajai rentos vertei S surasti, galima panaudoti geometrinės progresijos narių sumos formulę: snTi=(T indeksas reiškią kampą) =1+(1+i)+(1+i)2+… ..+(1+i)n-1=((1+i)n-1)/i. Jei įmokos mokamos kiekvieno periodo pabaigoje, tai S=C*((1+i)n-1)/i, rentos būsimoji vertė lygi S=CsnTi, o kai mokamos periodo pradžioje, tai S=C((1+i)n+(1+i)n-1+…+(1+i)). S=CsnTi, tik “s” viršuje su dviem taškiukais. Nesunku pastebėti, kad snTi(su tašk.)=(1+i)snTi=s(n+1)Ti-1. Tas reikšmes galima rasti naudojantis lentelėmis. 3.2 Finansinės rentos dabartinė vertė Padėtų į banką pinigų vertė priklauso nuo to kiek mes ten juos laikysime. Tarkime, kad periodinės įmokos mokamos kiekvieno periodo pabaigoje, o palūkanų norma lygi i. Tų įmokų dabartines vertes pažymėkime x1,x2,…xn . Vietoj to, kad periodo pabaigoje įdėtume C, užtenka periodo pradžioje įdėti mažesnę sumą x1, nes per vieną periodą, kartu su palūkanomis ji užaugs į sumą C. ir t.t. 0 1 2 3 n per. x1 C x2 C x3 C xn C. Todėl: x1(1+i)=C, x2(1+i)2=C, xn(1+i)n=C. Todėl visų įmokų dabartinė vertė lygi P= x1+ x2+…+xn=C/(1+i)+C/(1+i)2+…+C/(1+i)n= =C(1/(1+i)+...+1/(1+i)n). Pažymėję anTi=1/(1+i) +...+1/(1+i)n=(1-(1+i)-n)/i, gauname fin. Rentos dab. Vertės f-lę, kai įmokos mokamos periodo pabaigoje: P=CanTi. Jei įmokama būtų pradžioje, dabartinė vertė būtų lygi P= x1+ x2+…+xn= C+C/(1+i)+…+C/(1+i)n-1=C(1+1/(1+i)+...+ +1/(1+i)n-1). Pažymėję anTi(du tašk.)=1+1/(1+i) +...+1/(1+i)n-1, gauname fin. rentos dab. vertės f-lę, kai įmokos mokamos periodo pradžioje: P=CanTi.(“a” su tašk.). Nesunku patikrinti, kad anTi(du tašk.) =(1+i)anTi =1+a(n-1)Ti . 3.3 Amžinoji renta. Su rentos dabartine verte yra susietas toks uždavinys. Kurią sumą reikia padėti į banką, kuris moka p% metinių palūkanų, kad per n metų kiekvienų metų gale galėtume paimti po C litų. Tą sumą pažymėkime k. Pasibaigus pirmiems matams banke liks: k(1+i)-C, pasibaigus antriems– (k(1+i)-C)(1+i)-C=k(1+i)2-C(1+i)-C, o po n metų, nieko nebeliks: k(1+i)n-C(1+i)n-1- C(1+i)n-2-…-C(1+i)-C=0. Todėl: k(1+i)n= =C(1+i)n-1+ C(1+i)n-2+…+ C(1+i)+C, k(1+i)n= =CsnTi, k=CanTi. Vadinasi, reikalinga suma k yra n metų rentos, kai periodinės įmokos lygios C, dabartinė vertė. Jeigu metų skaičius n yra neriboto dydžio, renta vadinama amžinąja. Jos dabartinė vertė lygi: k=Ca¥Ti=C*limn-¥anTi=C/i. 3.4 Infliacija kai pinigų pasiūla viršija gamybos augimo tempus, kyla prekių ir paslaugų kainos. Tai vadinama infliacija. Ji charakterizuojama vidutinių kainų padidėjimu per metus, kuris vadinamas infliacijos tempu (r). jei metų kainų indeksus pažymėtume 1, infliacijos tempus r, metų gale kainų indeksas būtų r+1. Nuo to sumažėja reali pinigų vertė. k Lt praslinkus metams turės realią vertę k/(1+i) Lt. Infliacijos įtaką švelnina pinigų laikymas bankuose. Jeigu k Lt padėsime į banką su palūkanų norma i, po metų turėsime k(1+i) Lt. Tačiau dėl infliacijos tos sumos reali vertė lygi: A’(1)=k(1+i)/(1+r). Daugikliui (1+i)/(1+r) galima suteikti pavidalą 1+i’: 1+i’=(1+i)/(1+r), i’=(i-r)/(1+r). i’ vadinamas realiąja palūkanų norma. Vadinasi, po metų reali sukauptoji vertė lygi A’(1)=k(1+i’). Kapitalas, kaupiamas pagal sudėtinius procentus, dėl infliacijos taip pat nuvertėja. Sakykime, kad r1, r2, ...rn – metiniai infliacijos tempai. Kapitalas k po n metų turės realią vertę, lygią k/(1+r1)(1+r2)…(1+ rn). Jei laikysime, kad r1=r2=…=rn=r, kapitalo k realioji vertė po n metų bus lygi k/(1+r)n. Jeigu kapitalas kaupiamas pagal sudėtinius procentus, po n metų sukauptoji vertė lygi A(n)=k(1+i)n, o realioji vertė lygi A’(n)= k(1+i)n/ (1+r)n= k(1+i’)n . Dėl infliacijos nuvertėja ir finansinės rentos būsimoji vertė. Rentos būsimosios vertės f-lės: S’=CsnTi’, kai palūkanos skaičiuojamos metų pabaigoje, ir S’=CsnTi’(su tašk.), kai palūkanos skaičiuojamos metų pradžioje. 4. Kreditas 4.1 Trumpalaikis kreditas Kreditas – tai pinigų ar prekių perleidimas laikinam naudojimui. Už jį yra atlyginama palūkanomis. Jei kredito terminas yra nedidesnis už vienerius metus, jis yra vadinamas trumpalaikiu ir palūkanos skaičiuojamos pagal paprastuosius procentus. Pasibaigus kredito terminui, skolininkas turi grąžinti ne tik kreditą, bet ir palūkanas. Pvz.: Pasiskolinau 1000Lt. Su 20% metinių palūkanų, tai turėsiu grąžinti 1000+1000*20%=1200Lt. 4.2 Laipsniškas kredito gražinimas. Kredito grąžinimas periodinėmis įmokomis yra vadinamas laipsnišku kredito grąžinimu. Ilgalaikio kredito palūkanos dažniausiai yra skaičiuojamos pagal sudėtinių palūkanų formulę. Tarkime, kad t metams yra gautas B didumo kreditas, nominalioji palūkanų norma i(m), o kreditą reikia grąžinti per n=m*t periodų. Periodinės įmokos žymime R1,R2,…,Rn Per n periodų kreditas B išaugs iki B(1+i)n, i=(i(m))/m. jei kiekvieno periodo gale mokėsime po lygiai, t.y. R1=R2=…=Rn=R, po n mokėjimų sukaupsime finansinę rentą, kurios būsimoji vertė lygi: S=RsnTi. Kreditas bus grąžintas, kai finansinės rentos būsimoji vertė S bus lygi kredito B sukauptajai vertei: RsnTi=B(1+i)n. Kadangi (snTi)/(1+i)n=((1+i)n-1)/(i(1+i)n)= =(1-(1+i)-n)/i=anTi, tai periodinių įmokų dydis grąžinti kreditui lygus: R=B/anTi. Kreditoriui ir debitoriui svarbu sekti, kaip grąžinamas kreditas. Todėl tam sudarinėjamas kredito grąžinimo planas, kuriame pavaizduojama kredito grąžinimo situacija kiekvieno periodo pabaigoje. Sudarome kredito grąžinimo planą, kai pastovaus dydžio įmokos R mokamos kiekvieno periodo pabaigoje. Tarkime, kad kreditą B reikia grąžinti per n periodų, kai palūkanų norma vienam periodui lygi i. Planui sudaryti naudosimės formulėmis: anTi-vn=a(n-1)Ti, v=1/(1+i). Periodinės įmokos R apskaič. pagal R=B/anTi formulę, tokiu būdu paimtas kreditas lygus B=RaTi. Kiekviena įmoka susideda iš dalies grąžinto kredito ir palūkanų už negrąžintą kredito dalį per praėjusį periodą. Pirmojo periodo pabaigoje už praėjusį periodą reikia sumokėti palūkanas už visą kreditą, t.y. Bi=RianTi palūkanų, todėl, pasibaigus pirmajam periodui, kredito sugrąžinta dalis lygi R-RianTi=R(1-ianTi)=R/(1+i)n=Rvn. Skolos dar liko B-Rvn=RanTi-Rvn=R(anTi-vn). Taigi skolos likutis po pirmos įmokos lygus B1=Ra(n-1)Ti. Praslinkus pirmam periodui yra tokia situacija: įmokėta – R; užmokėta palūkanų – RianTi=R(1-vn); grąžinta kredito - Rvn; skolos likutis – Ra(n-1)Ti. Psibaigus antram periodui vėl bus įmokėta R. Palūkanos už tą periodą mokamos už skolos likutį, todėl jos lygios Ra(n-1)Ti*i*1=R(1-v(n-1)), todėl antros įmokos R skolos sugrąžinta dalis lygi R-R(1-v(n-1))=Rv(n-1), o skolos likutis lygus Ra(n-1)Ti-Rv(n-1)= =R(a(n-1)Ti-v(n-1))=Ra(n-2)Ti. Iš šių dydžių gauname tokį kredito laipsniško grąžinimo planą: Periodas Įmoka Grąžinta skolos Užm. palūk. Skolos likutis 0 B 1 2 ……. l ……. n-1 n R R … R … R R Rvn Rv(n-1) ….. Rv(n-l+1) ….. Rv2 Rv R(1-vn) R(1-v(n-1)) ………. R(1-v(n-l+1)) ………. R(1-v2) R(1-v) Ra(n-1)Ti Ra(n-2)Ti ……. Ra(n-l)Ti ……. Ra1Ti Ra0Ti=0 Iš viso nR RanTi R(n-anTi) 0 4.3 Kredito grąžinimo fondas. Suėjus terminui, kreditą galima grąžinti iš karto, o palūkanas mokėti kiekvieno periodo pabaigoje. Kredito dydžio sumą galima sukaupti finansinės rentos būdu. Ši suma vadinama kredito grąžinimo fondu. Tarkime paimtas kreditas B, kurį reikia grąžinti po n periodų, kiekvieną periodą mokant paprastąsias palūkanas, kurių norma už periodą lygi j. Tada debitorius moka kiekvieno periodo pabaigoje I+C. I=Bj ir yra kredito palūkanos už periodą, o C įmokos į gražinimo fondą. Vieno periodo palūkanų norma už sukauptas lėšas fonde lygi i. Paprastai ij, išlaidos grąžinimo fondo būdu yra mažesnės. 4.4 Vartotojiškasis kreditas. Parduotuvės, norėdamos padidinti apyvartą, suteikia pirkėjams kreditą. Prekės vertę vartotojas sumoką dalimis, per sutartą laiką. Bet pirkėjas turi už tai mokėti palūkanas. Tarkime prekės kaina yra K, metinė palūkanų norma p%, o sutartą kreditą grąžinti per m mėnesių. Mėnesio įmokų dydis priklauso nuo to, kaip skaičiuojamos palūkanos. Jos gali būti skaičiuojamos kiekvieną mėnesį nuo visos prekės kainos arba tik nuo likusios skolos dalies. 1. jeigu metinė palūkanų norma yra i=p/100, pirkėjas per nustatytą laikotarpį iš viso turi sumokėti: K(1+i*m/12), padaliję tai į lygias dalis gauname mėnesio įnašų dydį. C=1/m*k(1+i*m/12). 2. Kitas kredito grąžinimo būdas, kai palūkanos skaičiuojamos nuo likusios skolos dalies, jis labiau atsižvelgia į pirkėjų interesus. Tarkime, kad prekės kaina yra K, metinė palūkanų norma i ir sutarta kreditą grąžinti per m mėnesių po K/m Lt kartu su 1/m visų palūkanų. Tai pirmojo mėnesio pabaigoje palūkanų susidaro: I1=(Kp/100)*1/12 ir dar reikia grąžinti K/m prekės kainos. Už antrąjį mėnesį palūkanos skaičiuojamos nuo likusio kredito K-K/m, jų yra: I2=(K-K/m)*p/100*1/12=K(1-1/m)*p/100*1/12. Palūkanos už trečiąjį mėnesį yra lygios I3=(K-2K/m)*p/100*1/12=K(1-2/m)*p/100*1/12, o už paskutinį mėnesį Im=(K-(m-1)*K/m)*p/100*1/12=K(1-(m-1)/m)*p/100* 1/12. Todėl iš viso reikia mokėti palūkanų: I=I1+I2+…+Im=K*p/100*1/12+K(1-1/m)* p/100*1/12+…+K(1-(m-1)/m)*p/100*1/12= =Kp/1200(1+1-1/m+1-2/m+…+1-(m-1)/m)= =Kp/1200(m/m+(m-1)/m+(m-2)/m+..+1/m)= =Kp(1/m*(m+(m-1)+(m-2)+…+1))= =Kp/1200*((1/m)*((m+1)/2)*m)=Kp/1200* (m+1)/2. Vadinasi, per m mėnesių pirkėjas turi sumokėti prekės kainą ir dar palūkanas, t.y.K+I=K+(Kp/1200)*(m+1)/2=K(1+ (p/1200)*(m+1)/2)=K(1+p*(m+1)/2400). Tą sumą padaliją į m lygių dalių, gauname, kad kiekvieną mėnesį pirkėjas turi mokėti po C=(K+I)/m=K/m(1+p(m+1)/2400). 4.5 Lengvatinis kreditas. Kartais kreditai suteikiami be palūkanų arba su mažesnėmis nei įprasta. Tokiais atvejais kredito gavėjas nemoka palūkanų arba moka tik jų dalį. Vadinasi, jis gauna daugiau, negu vertas pats kreditas. Beprocentis kreditas.Tarkime, kad n metams suteiktas B dydžio kreditas, kurį suėjus terminui reikės grąžinti iš karto. Jeigu palūkanų norma yra i, kreditorius netenka tiek, koks kredito B ir po n periodų grąžinamos sumos dabartinės vertės skirtumas. Dabartinė vertė randama: B/(1+i)n. Todėl kreditorius netenka W=B-B/(1+i)n=B(1-(1+i)-n)=BianTi pajamų. Tai yra kreditoriaus subsidija (ekonominė pagalba) kredito gavėjui. Beprocentis kreditas gali būti grąžinamas lygiomis dalimis pasibaigus kiekvieniems metams. Periodinės įmokos lygios C=B/n, o jų visa dabartinė vertė pagal P=CanTi formulę lygi P=(B/n)*anTi. Todėl kreditoriaus suteikta subsidija lygi W=B-(B/n)*anTi=B(1-(anTi/n)). Mažesnės palūkanų normos kreditas. Tarkime, kad n metams suteiktas kreditas B su palūkanų norma g. Tuo metu ilgalaikių kreditų palūkanų norma pinigų rinkoje yra i (i>g). Kreditas kartu su palūkanomis gražinamas lygiomis dalimis kiekvienų metų gale. Kasmetinės įmokos pagal P=CanTi formulę lygios C=B/anTg, tų įmokų sumos dabartinė vertė lygi P=CanTi=(B/anTg)* *anTi. Tai tokio lengvatinio kredito subsidija lygi W=B-(B/anTg)*anTi=B(1- (anTi/anTg)). 4.6 Kredito konversija. Kredito grąžinimo sąlygų pakeitimas, vadinamas kredito konversija. Keisti galima parametrus, nuo kurių priklauso kredito grąžinimo sąlygos: palūkanų norma, terminus ir palūkanų skaičiavimo dažnius per metus. Taip pat konversija vadinamas ir kelių kreditų sujungimas (konsolidacija) į vieną kreditą. Tarkime, kad kreditas B gautas šiomis sąlygomis: n- sutartasis periodų skaičius kreditui grąžinti, i- vieno periodo palūkanų norma iki konversijos, m- palūkanų skaičiavimo dažnis per metus iki konversijos. Praslinkus l periodų, buvo sutarta pakeisti sąlygas: n1-po konversijos pakeistas visų periodų skaičius, i1- vieno periodo palūkanų norma po konversijos, m1- palūkanų skaičiavimo dažnis per metus po konversijos. Paprasčiausia konversija yra tada, kai debitorius po l periodų nori galutinai atsiskaityti iš karto, ir jis turi sumokėti paskutiniųjų n-l periodų įmokų esamą vertę. Jei mokama periodo pabaigoje, pagal dabartinės vertės formulę P=CanTi, debitorius turės sumokėti: P=Ca(n-l)Ti, jei įmokos mokamos periodo pradžioje, pagal P=CanTi(a - su taškais) formulę už likusius n-l periodus iš karto reikės sumokėti: P=Ca(su taškais)(n-l)Ti=C(1+i)a(n-l)Ti= =C(1+a(n-l-1)Ti). Kitas kredito konversijos atvejis yra palūkanų normos ir termino keitimas. Tarkime, kad kreditas grąžinamas periodų pabaigoje ir po l periodų šalys susitarė taikyti naują palūkanų normą i1 ir periodų skaičių n1. Pagal pradines kredito sąlygas periodinės įmokos, remiantis R=B/anTi formule, lygios: C=B/anTi. Po tokią sumą debitorius mokėjo l periodų. Likusių n-l periodų įnašų vertė konversijos metu pagal P=CanTi formulę lygi: P=Ca(n-l)Ti, tą sumą reikia išmokėti periodiniais įnašais C1 per n1- l periodų su palūkanų norma i1. Todėl P=Ca(n1-l)Ti1. Šioje formulėje vietoje P įrašę jo reikšmę iš (1/snTi)+i=1/anTi formulės gausime naujųjų įnašų dydį: C1= Ca(n-l)Ti/ Ca(n1-l)Ti1. 5. Investicijų analizė 5.1 Grynoji dabartinė vertė. Realaus turto ar finansinės vertybės panaudojimas siekiant ją padidinti vadinamas investicija. Paprastai investicijos planuojamos daugeliui metų. Tai yra akcijų, obligacijų, žemės, pastatų, įrengimų, gamybos technologijos pirkimas ar pinigų įdėjimas į verslo organizavimą bei reklamą. Prieš pinigus investuojant projektas yra analizuojamas, kiek jis gali duoti pajamų. Investicijų analizei dažniausiai taikomi šie trys metodai: 1. grynosios dabartinės vertės 2. vidinės pajamų normos 3. pelningumo indekso. Investiciją žymėsime R0. Kadangi tai yra išlaidos, Ro0, projektas pelningas. 5.2 Vidinė pajamų norma. Investicijų projekto sėkmė priklauso nuo R0, R1,…, Rn ir palūkanų normos i. Iš jų tik investicijos dydis R0 yra faktiškas, o kiti dydžiai – grynosios pajamos ir palūkanų norma - yra tik prognozuojami. Jie gali ir nepasitvirtinti. Todėl investicijos sėkmė susieta su rizika. Norint šią riziką įvertinti reikia atlikti investicinio projekto detalesnę analizę. Yra investicinio projekto tyrimo metodas , tai grynosios dabartinės vertės priklausomumo nuo palūkanų normos analizė. Tarkime, kad R0, R1,…, Rn yra pastovūs dydžiai ir R1, R2,…, Rn yra teigiamieji. Didžiausia W reikšmė bus tada, kai W=R0+Snk=1Rk/(1+i)k visi vardikliai lygūs 1: Wmax=R0+R1+R2+…+Rn, tokią W reikšmę įgis, kai i=0. Jei i didinsime, tai teigiamieji nariai mažės, kartu mažės ir W. Palūkanų norma q, su kuria grynoji dabartinė vertė W=0, vadiname vidine pajamų norma. Ji randama: R0+R1/(1+q)+R2/(1+q)2+…+Rn/(1+q)n=0. Joje R0, R1,…, Rn – žinomieji dydžiai, o q – lygties kintamasis. 30000 W 20000 10000 q 0,02 0,04 0,06 0,08 i -10000 -20000 Pav. Grynosios dabartinės vertės priklausomumas nuo palūkanų. Vidinė pajamų norma q yra tas palūkanų rėžis, nuo kurio investicinis projektas yra pelningas ar nuostolingas. Kai i

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!