Matematinė analizė ir tiesinė algebra

Matematinė analizė ir tiesinė algebra • 3-4 paskaitos. Funkcijos išvestinė • Tegu y=f(x) ir Δx yra funkcijos argumento pokytis taške x, o Δy=f(x+Δx)-f(x) – atitinkamas funkcijos pokytis. Funkcijos išvestine taške x (žymima f’(x)) vadinama riba • Jei riba neegzistuoja, sakoma, kad funkcija išvestinės taške neturi. • Jei funkcija turi išvestinę taške x, tai ji vadinama diferencijuojama taške x. Išvestinės skaičiavimas vadinamas funkcijos diferencijavimu. • Jei funkcija f(x) turi išvestinę taške x, tai ji yra tolydi šiame taške. Išvestinės interpretacijos • Išvestinės f’(x) geometrinė interpretacija: tai yra kampo, kurį sudaro funkcijos f(x) liestinė taške (x, f(x)) su Ox ašimi, tangentas. • Kita vertus, santykis Δy/Δx yra funkcijos kitimo vidutinis greitis, kai argumentas kinta intervale [x; x+Δx]. Vadinasi, riba • rodo funkcijos kitimo momentinį greitį (funkcijos kitimo greitį momentu x). • Pavyzdžiui, tegu K=K(x) yra gamybos kaštų K priklausomybė nuo produkcijos kiekio x. Šios funkcijos pokytis ΔK=K(x+Δx)-K(x) yra gamybos kaštų pokytis, atitinkantis produkcijos kiekio pokytį Δx. Tuomet santykis ΔK/Δx yra vidutinis kaštų kitimo greitis produkcijos kiekio intervale [x; x+Δx] ir momentinis (ribinis) gamybos kaštų kitimo greitis, esant gamybos lygiui x, gaunamas apskaičiavus ribą Diferencijavimo taisyklės • Pastoviosios funkcijos išvestinė lygi nuliui. • Jei f(x) yra diferencijuojama funkcija, tai su bet kuria konstanta c • Jei f(x) ir g(x) yra diferencijuojamos funkcijos, tai • Išvada. Jei f(x) ir g(x) yra diferencijuojamos funkcijos, tai su bet kuriomis konstantomis a ir b • Diferencijavimo taisyklės • Jei f(x) ir g(x) yra diferencijuojamos funkcijos, tai • Jei f(x) yra diferencijuojama funkcija ir f(x)≠0, tai • Jei f(x) ir g(x) yra diferencijuojamos funkcijos ir g(x)≠0, tai Diferencijavimo taisyklės • Pažymėję u=f(x), v=g(x), galime parašyti Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė Diferencijavimo taisyklės • Teorema (atvirkštinės funkcijos diferencijavimas). Tarkime, kad f(x) yra diferencijuojama ir monotoniška intervale (a; b). Tada f(x) turi atvirkštinę funkcija g(x), funkcija g(x) yra diferencijuojama savo apibrėžimo srityje (c; d), ir kiekvienam x iš intervalo (c; d) • Teorema (sudėtinės funkcijos diferencijavimas). Tarkime, kad f(x) yra diferencijuojama taške x, o funkcija g(y) yra diferencijuojama taške y=f(x). Tuomet sudėtinė funkcija F(x)=g(f(x)) taip pat yra diferencijuojama taške x ir • arba Diferencialas • Funkcijos f(x) diferencialu dy taške x vadinama sandauga f’(x)Δx, t.y. • Vietoje Δx galime rašyti dx, nes dx=x’Δx=Δx. Taigi • arba • t.y. funkcijos išvestinė yra lygi funkcijos diferencialo ir argumento diferencialo santykiui. Šiuo santykiu dažnai žymima išvestinė. • Kai argumento pokytis Δx yra mažas, tai Δy ≈ dy. Todėl diferencialas yra naudojamas skaičiuojant funkcijų reikšmes ir vertinant paklaidų didumą. Tarkime Δy yra f(x) pokytis taške x, atitinkantis argumento pokytį Δx. Tuomet, jei f(x) yra žinoma, tai funkcijas reikšmes x aplinkoje galima įvertinti kaip Aukštesniųjų eilių išvestinės • Funkcijos f(x) n-oji išvestinė yra (n-1)-osios išvestinės išvestinė. Šios išvestinės žymimos • arba • Leibnico formulė Elementariųjų funkcijų aukštesniųjų eilių išvestinių lentelė Išvestinės taikymai. Elastingumas • Dar viena ekonomikoje taikoma rodiklių kitimo greičio charakteristika yra elastingumas. Funkcijos y=f(x) santykine išvestine, arba elastingumu, kintamojo x atžvilgiu taške x vadinama riba • Elastingumas nesunkiai išreiškiamas funkcijos y=f(x) išvestine • Elastingumo ekonominė prasmė yra procentinis funkcijos y pokytis argumento reikšmei pakitus vienu procentu: Ex(y) didumas rodo, keliais procentais pakito y, kai kintamasis x pakito vienu procentu. Išvestinės taikymai. Netiesinių lygčių sprendimas Niutono metodu. • Sprendžiame lygtį f(x)=0. Jei pradinis artinys x0 toks, kad • tai • kur a yra lygties šaknis: f(a)=0, o Išvestinės taikymai. Lopitalio taisyklė • Tarkime, kad f(x) ir g(x) yra diferencijuojamos taško a aplinkoje, išskyrus galbūt patį tašką a, g(x)≠0 ir g’(x)≠0 toje aplinkoje, ir • Tuomet: • jei dešinės pusės riba egzistuoja arba yra +∞ arba -∞. • Pastaba. Lopitalio taisyklė taikytina ir tada, kai f(x)/g(x) yra neapibrėžtumas ∞/∞ taške a. Taisyklė galiojo ir kai a=∞ arba a=-∞. Išvestinės taikymai. Teiloro formulė • Tarkime, kad funkcija f(x) turi visas išvestines taško a aplinkoje. Tuomet toje aplinkoje Išvestinės taikymai. Funkcijos ekstremumai • Lagranžo teorema. Jei funkcija y=f(x) yra tolydi uždarame intervale [a; b] ir turi išvestinę bent atvirame intervale, tai yra toks taškas c, a

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!