Matematiniai modeliai finansuose

 2003.02.27 MATEMATINIAI MODELIAI FINANSUOSE Prof. habil. dr. H. Pragarauskas 1. Draudos matematiniai modeliai 2. Finansų rinkų matematiniai modeliai Matematiniai modeliai realius ekonominius procesus aprašo matematiškai ir yra naudojami prognozavimui. Kas yra Drauda? įmokos išmokos Veiklos išlaidos Rizika: verčiau sumokėti fiksuotą sumą, kad nelaimės atveju būtų apmokėtos išlaidos.Pvz. privalomas transporto draudimas. Drauda didelę dalį išlaidų padengtų. Žala 0, ,…, Tikimybė ,,…, Egzistuoja naudingumo funkcijos – instrumentas aprašantis ekonomines situacijas. Yra 2 situacijos : uncertainty (netikrumas) ir rizikos. Ap. Turim a.d. , tikimybinę erdvę . Situacija, kada žinome baigtį ir žinome tikimybes vadinama rizikos situacija. Ap. Situacija, kai žinome baigtis, bet nežinome tikimybių vadinama uncertainty. Modeliuojant laikoma, kad tikimybės duotos. Praktikoje jos apskaičiuojamos statistiškai. Dydis gali įgyti reikšmes iš lentelės, . (Žinoti, kas yra sigma algebra). - elementarieji įvykiai, , , . Aibė F reikalinga veiksmų atlikimui: riboms, sudėčiai, atimčiai ir pan. Draudėjas draudžiasi, turi mokėti civilinės atsakomybės mokestį s. Atimam : ? –s Kad naudingumas nepakistų t.b. u(x), u(x - ), u (x -), Įvykiai iš „pabaigos“ labai kenksmingi. Iš kitos pusės DB tikslas – pelnas, stabilumas, todėl būtinai yra Draudos priežiūra (rezervų, licencijų …). Ypač prižiūrimos privalomos šakos, tos kur valstybė priverčia draustis. Verslo saugumas – tikimybė, kad neįvyks bankrotas. Tai svarbiausias dalykas. Rizika susikaupia DB. DB veikla nėra deterministinė, vis tiek atsiranda svyravimai. Drauda skirstoma į 2 blokus: 1. Negyvybės drauda: 1.1. Turto drauda 1.2. Atsakomybės 2. Gyvybės drauda: 2.1 Sveikatos 2.2 Pensijų Pagrindinis skirtumas – gyvybės drauda ilgalaikė, o pvz. turto trumpalaikė. *Dažnai investuojama į obligacijas. Tai patikima. Kitas investavimas – į akcijas. Čia didesnės palūkanų normos, didesnė kapitalo grąža ir rizika didesnė. * Jei rizikų susikaupia daug, tada kreipiamasi į kitas DB, dalinamasi rizika. Čia papildom schemą PB. Yra daug rizikų rūšių, jos visos sudėtos į portfelį. Paprasčiausi Draudos modeliai (DMM) DMM pradėti plėtoti praeito amžiaus pradžioj. Vienas iš pirmų tikimybinių objektų buvo drauda. 1910-1930 m. atsirado Lundberg – Cramer modelis. Tai paprasčiausias modelis tolydžiam laike. P – įmokos per laiko vienetą (neatsitiktinis) - i – tosios išmokos dydis (atsitiktinis) U – pradiniai rezervai (deterministinis, tai ką turi bendrovė) - išmokų skaičius intervale [0, t] (a.d.) , - suminės išmokos (*) Yra įmokų ir išmokų srautai. Įmokos žymiai mažesnės už išmokas. Situacija supaprastinama įmokų srautą vaizduojant deterministiškai. Modelis rašomas akumuliuotais pinigais, t.y. sukauptais nuo laiko momento 0. , Tipiška trajektorija: (Gr.1) Paaiškinimas. P > 0 iš pradžių. Išmokų laiko momentai atsitiktiniai. (Nubraižo antrą kreivę) Abiem bendra – pobūdis it starto taškas. Antru atveju gaunamas teorinis bankrotas. (*) yra ne modelis, o struktūra. Šią struktūrą papildžius prielaidomis, gausime modelį. Prielaidos: 1. - Puasono procesas (apibūdinamas intensyvumu λ) – tai nepriklausomų pokyčių procesas, sveikareikšmis ir tikimybė . Puasono proceso trajektorija: yra retų įvykių skaitiklis Vidurkis Proc. dispersija 2. A.d. yra tarpusavyje nepriklausomi ir vienodai pasiskirstę. Jų pasiskirstymo funkcija 3. A.d. nepriklausomi ir nuo 1 – ą sąlygą galima perrašyti kitaip. Žr. Gr.1. Sudarykime intervalus , kur 1‘ yra tarpusavyje nepriklaus., vienodai pasiskirstę pagal eksponentinį dėsnį: (tada ir nepriklausomi nuo ) Norint nubraižyti laužtę, reikia mokėti: • generuoti atsitiktinius laiko intervalus • generuoti Parašius prielaidas, modelis visiškai apibrėžtas. Kaip apsunkinti modelį? Tegul pasiskirstymas neeksponentinis. Žūsta Markovas. Toks Draudos modelis vadinamas Andersono modeliu. Esminį vaidmenį modelyje vaidina išmokų pasiskirstymo funkcijos V(x) savybės. Ji atrodo taip: Pavojingiausi dideli x, .t.y. didelės žalos. Statistiškai, kuo toliau, tuo V(x) identifikuojama blogiau. Jei įvyksta įvykis, liečiantis visus klientus, tai gresia bankrotas. Todėl domina V(x) uodegos. Jų atvejai : 1. Lengvų (gęsta sparčiai, nelėčiau kaip eksponentiškai, pvz. ) 2. Pussunkių 3. Sunkių Pareto skirstiniai , lognormalusis, laipsninis (apie namų ūkio pajamas) K-L modelis – tai lengvų uodegų atvejis. Suminė išmokų pasiskirstymo funkcija Jei režimas kaip brėžinyje, tai ką turėsim po metų? Dėl proceso atsitiktinumo turėsim a.d. Tarkim žinom V(x), interv. - pasiskirst. funkcija. Kaip atrodys ? Po metų gautumėm . Rezultatas: Teorema. Tarkime išpildytos šios sąlygos: 1. K – sveikareikšmis a.d., jo pasiskirstymo funkcija apibrėžta tikimybės Čia , nes t = 1. 2. - neneigiamas a.d., vienodai pasiskirstę, tarp. nepriklausomi, nepriklausomi nuo K, Tada sumos skirstinys , , , *V(x) nustatoma statistiškai, tada ją diskretizuoja. Statistinis tankis naudojamas skaičiavimuose, jis sugeneruojamas kompiuterio. Įrodymas: Ieškosim 2 – jų atsitikt. dydžių pasiskirstymo funkcijų sumos. (a. d. suma ir atsitiktinis jų skaičiaus sk.) Naudojame indukcijos principą. 1. , , tada . Pereinam prie integralo: *Begalybę galima keisti x – su remiantis draudos specifika, nes x > 0.Tikimybė, kad sudėję x > 0 gausime (tai dažna sąlyga modelyje, safety loading) δ – atsargos koeficientas. Jei vidut. įmokos viršija vidutines išmokas, ar tikrai bankroto tikimybė = 0? Ne. Veiksniai, galintys sumažinti bankroto tikimybę: • Dideli rezervai (bet jų nepadidinsi, gręsiant bankrotui) • Įmokos (žymiai padidinti negalėsi dėl rinkos konkurencijos) • Perdrauda (realus variantas), kai dalis rizikos perduodama kam nors kitam. Rizikų pasidalijimas vadinamas diversifikavimu. Naudojant diversifikavimą, sumažėja pajamos klaida, procesas artėja prie deterministinio d., o tai gerai. Nagrinėsim bankroto tikimybes. Bankrotas grafiškai: jis įvysta, įvykus didelei išmokai. Bankroto momentas . Tai pirmas laiko momentas, kai rezervai pasidaro 0. Kas atsitinka draudos bendrovei per tą laiką? Galimi 4 variantai: 1. Nėra išmokų; 2. Buvo vieną, bet bankrotas neįvyko; 3. Buvo vieną ir įvyko bankrotas; 4. Buvo daugiau nei viena išmoka. Darome prielaidą, kad . Žr. grafiką, tarkim gaunam rezervų, tada kreivė kyla, bankrotas – ekstremumas. Rašome 1-4 matematiškai: Nebankroto tikimybė: U+P Δ – padidėjantys rezervai, V(x) – išmokos pasiskirstymo funkcija, Δ- laikas, . Skleidžiam Teiloro eilute pagal formulę: . Šiuo atveju x = λΔ. Skleidžiam iki antro nario, o kiti nesvarbūs. - Puasonas (λ>0), . Tas integralas yra nebankroto tikimybė. 4 atveju, . Kaip pakito rezervai? Ta pati schema kitaip: Perrašom: Dalijam iš Δ ir gaunam bankroto tikimybės lygtį: (1) Norint gauti 1-ą sprendinį, reikalinga ši sąlyga: Bankroto tikimybė apibūdinama su pradiniais rezervais = 0. PVZ. Tarkim (eksponentinė). Dydžiai turi pasiskirstymo f-ją V(x). Vidurkiai visų vienodi = μ. Bankroto tikimybė: Jei rezervus padidinsime 2 kartus, tai bankr. tikim. e rodiklis => . Šis atsakymas blogas tuo, kad išraiška sudėtinga. Reikia paprastų charakteristikų . . Tai pats geriausias apytikris atsakymas. Paprasčiausias matas ekonomikoje – dispersija – veiklos rizika. Antras artinys (šiaip nagrinėja): padalinus iš , gauname . Panaudoję sumos kvadrato formulę, gautumėm atsakymą . Jau atsiranda 3 momentas. Atsakymas taip pat netikslus. Jis naudingas tik asimetrijos atveju ekonomikoje (skewness). Teoremos įrodymas. (indukcijos principu) • , , 1. n = 1, tada , F(x) - pasiskirstymo funkcija. => - teisinga 2. Darom prielaidą: . Įrodysime, kad 2003.03.07 Fiksuojam x > 0. Tarkim y 0. Kitaip P – įmokos per laiko intervalą. - vidutinės suminės įmokos per tą patį laiką. δ – atsargos koeficientas. Jis atsiranda dėl 2 priežasčių: DB turi mokėt mokesčius, nes yra juridinis asmuo, Jei DB privati, tai ji akcinė, o akcininkai dividendų iš to paties šaltinio. Lietuvoje δ yra didelis, ypač gyvybės draudime gal 6-7. Kaip nustatyti įmokas? Minusai. Z – a.d., įmokos apibrėžiamos tik pagal vidurkį, o ne pagal kitus momentus. Kitas formulės pasiūlymas: . EZ – grynoji įmoka už riziką (pure risk premium) , - standartinis nuokrypis. Jei dispersiją didiname, bendrovė rizikuoja labiau. Imkim (1) kaip bazinę, koks δ? δ reikia derint su pasirinkta bankroto tikimybe. Įvertis (2) , Y = P-Z. Pasinaudodami įverčiu, padidiname bankroto tikimybę: , logaritmuojam => => - taip rašoma, kad gautų finansinę interpretaciją. Paaiškinimas. (2) sprendinys buvo , , , nes P – konst. => ir stato į lygybę. Interpretacija. = (, išreikšti natūraliais piniginiais vienetais, kurie neturi piniginės dimensijos) Paaiškinimas. Tarkim turim 1000 000 Lt. Ar tai daug, ar mažai? Priklauso nuo draudimo objekto. Taigi ar daug, ar mažai, pamatysim iš santykio. - variacijos koeficiento kvadratas. • Kitimo (variacijos) koeficientas skaičiuojamas tik santykių skalės kintamiesiems, turintiems teigiamus vidurkius. Koeficientas yra bedimensis. Jis naudojamas lyginant skirtingų duomenų aibių sklaidas, taikomas ir lyginant skirtingais vienetais matuotų aibių duomenų sklaidą. Nepaisant to, kad veikla rizikinga, dar svarbu rezervų padėtis. Tegul , Jei lygintumėm šiuos pagal sklaidą (dispersiją), tai jie lygūs. Nulinio naudingumo principas Preferencija: daugiau pinigų geriau nei mažiau. Jau seniai pastebėta, kad svarbu ne pinigų kiekis, o jų atnešamas naudingumas. Iš to atsirado naudingumo kreivės. Naudingumo koeficientas atsirado iš Danielio Bernuli idėjos, kad žaidžiant ruletę, kaskart statyti sumą, pakeltą kvadratu, ir vis tiek kada nors laimėsi. Tik viena sąlyga, turi turėti begalinį kapitalą. Tipinės naudingumo funkcijos: , x – pinigai u(x) Pradžioje uždirbama daug daugiau nei po to. Preferencija išlaikoma. uždirbta x Funkcijos u(x), savybės: • u – glodi, bent 2 kartus diferencijuojama. • u(0) = 0 (nėra pinigų, nėra naudingumo) • (atspindi preferenciją) • (iškila funkcija) DB turėtų nepabloginti savo padėties vidutiniškai, t.y. (2) Čia u – naudingumo funkcija, P- Z – pirmas periodas, u(U) – pradinis naudingumas. Tarkim surastas - šitas iš (2). Tarkim u(x) = x, tada => . Gavom gryną įmoką už riziką, bet ji nelabai reali. Realesnė naudingumo funkcija : (3), kur a – konst. Įstatome į (2) ir gauname . Ribiniais perėjimais gaunama savybė: • Jei , o , tai tada (gauname įmoką pagal dispersiją, ne tik pagal vidurkį) Šveicarijoje naudojamas toks įmokų metodas: .(Visi stengiasi identifikuoti s ir f) Perdrauda Kas ji ir kam jos reikia? Tarkim situacija, kad DB neturi pakankamų rezervų, kad garantuotų saugų darbą, o draudėjai reikalauja drausti vis didesnes rizikas. Pvz. yra 4 bendrovės. Draudžiamas 200 000 Lt. kainuojantis automobilis. Draugiškai susitaria ir pasidalija po 50 000 Lt. Tegul yra 2 bendrovės. Yra rizikos ir , pasidalina ir abi gauna po . Tegul , . Taigi, abi bendrovės dirba vienodai. PO pasidalinimo įmokos nepakito, vidurkiai irgi, o rizikos dispersija sumažėja 2-bai: Jei vis tik rizikų per daug, jas reikia parduoti. Pardavimas vyksta primokant perdraudai.DB turėdama daug rizikų negali dirbti, nes yra pastoviai tikrinama, todėl ji turi daryti perdraudą. Smulkios bendrovės gerai sutaria su stambiom, nes jos parūpina stambioms klientų, o šios teikia perdraudos paslaugas smulkioms. Visada PB moka komisinius DB. Gali nepakakti ir perdraudos. Nėra perdraudos, kuri gali kompensuoti katastrofinius įvykius. Tada variantas – vyriausybės parama, bet vyriausybė neprivalo nieko remti. Tai gal reiktų daryti superperdraudos tinklą? Tam reikia didelių lėšų. Paskutinių metu pradėtos leisti obligacijos. Perdraudos būdai Perdraudos rūšys: 1. Proporcingoji perdrauda a) Quota (kvota) b) Surplus (likutis) 2. Neproporcingoji perdrauda a) Excess of loss b) Stop loss 1.a) Quota – labai paplitęa draugiškas būdas. Tinkamas pavienėms ir suminėms išmokoms. Pažymėjimai: , , P – tai ką moka draudėjas, Z – rizika. - pavienės išmokos. Kvotoje yra taip: , , . Perdraudai atitenka , . 1.b) Surplus - draud. polise išmokama max suma, - sumą padeda išmokėt PD 2. a) Excess of loss – labai populiarus būdas. - antra įmoka, kas liko virš r, bet „nukertama uodega“. 2. b) Stop loss – taikomas tik suminėms įmokoms. PB padeda tik žiūrėdami į metų rezultatus. P – suminės įmokos, - DB metinis rezultatas, - imasi PB. Quota ir Excess of loss skirtumai. Quota – proporcingas pasidalijimas . Jei α = 0.5, tai DB ima pusę, PB kitą pusę. Exess of loss – turi sutartą lygį, virš kurio padės mokėti jau PB. X t – laikas 2003.03.21 2 perdraudos būdai: 1. Mažos DB draudžiasi didžiosiose, kurių rezervai dideli. 2. DB dalijasi rizikas tarpusavyje. Bankroto tikimybė mažėja, nes išskaidžius nepriklausomas rizikas, mažėja dispersija. Katastrofiniai reiškiniai rodo, kad nepakanka iš viso pasaulinių pinigų priklausančių Draudai. Draudos pinigai mažesni nei viso turto pinigai (vertybiniai popieriai). Idėja: pritraukti pinigus iš Vertybinių popierių biržos, išleidžiant vertybinius popierius. Palūkanų norma rodo, kad geriau pinigai šiandien, nei rytoj. Pvz. Wintertour obligacija veikia taip: 2,5% su sąlyga pakeisti į akcijas. Jei buvo katastrofinių įvykių draudoje per tą pusmetį, pinigų neišmoka. Tai padeda įveikti katastrofas. Sumokėjai (P) P P P P Gavai išmokų () 0 - ši grupė moka už visus kitus žmones. Kai prisirenka potencialių daug, jei rezervai nedideli, tada išauga bankroto tikimybė, t.y. kai reiks mokėti, nebus iš ko. Tada bendrovė transponuoja: Rizika - prekė, kai parduodi, turi primokėt, todėl kenčia įmokos Matematiškai: PB pirktų šitą langą, o visa kita liktų DB. Kaip orientuotis? Tarkim reikia perdrausti, kas pasiektumėm reikalingą bankroto tikimybę. Tam yra matematinės formulės, kurios parodo, kokią dalį reikia perdrausti ir parodo kas svarbu, kas ne. Tarkim DB perdraudė dalį rizikų, jų atsikratė, atidavė įmokas. Po perdraudos jos bankroto tikimybė (įvertis): čia j reiškia metus. P – suminės įmokos j-tai metais. ~ - reiškia pradinei bendrovei tas kas liko po perdraudos. Kapa yra sprendinys . Klausimas. Kurią dalį reikia pardrausti? Žinom, kad . Perrašom (tipo čia tikra): => => Pastebime, kad ir pakeičiame: kairę pusę daug. Pagrindinė perdraudos lygtis (PPL): , kur - variacijos koeficiento kvadratas Paaiškinimas. Dispersija vertina sklaidą. Kuo sklaida didesnė, tuo blogiau. q – perdraudos poreikis - metinių išmokų vidurkis, rodo, ar pinigai dideli, ar maži. - rizikos vengimo matas - perdraudos veiksmingumo matas Kaip naudotis formule? Prieš perdraudžiant galima surasti iš buhalterijos duomenų. Jei po perdraudos bus lygu, tai garantuos norimą tikimybę. Perdrausti gali kaip nori (Snopple) Pvz. Kvota. α – dalis, kurią paliekame sau. Naudojantis PPL nustatyti α, ρ. , , => ieškom α , , kur (čia jau svarbu kaip buvo nustatomos įmokos). Statom į PPL: => Kai , . Darom prielaidą ir gauname: Ar galima optimizuoti, t.y. perdraudos bendrovei paieškoti pačios „bjauriausios“ porcijos? Tai santykinių liekanų uždavinys. Iš įvairovės pasirenkamas kriterijus ir optimizuojama, kad jis įgytų max ar min. Pajamų stabilizavimo kriterijus – pats dažniausias kriterijus, t.y. mažinama pajamų sklaida, t.y. minimizuojama dispersija. Turim N rizikų rūšių , kurioms . Tegul kiekvienai rūšiai ieškom kvotos koeficiento . Po perdraudos veiklos rezultatas: . Blogiausio varianto PB įsiūlymas bus toks uždavinys : - pajamų stabilizavimas (apribojimas) Spręsti Lagranžo kvadratų metodu. Tuo ir baigia negyvybės draudą Gyvybės drauda (GD) GD rūšys: 1. Pensijų fondai 2. Sveikatos drauda Šiuolaikiniai GD modeliai sudėtingi ir juos dar sunkina tai, kad GD bendrovės – stambūs investuotojai į finansines rinkas. GD- ilgalaikis. Reiškia yra palūkanų normos. Kas yra netikrumas GD-oj? ◦ žmogaus mirtis ◦ žmogaus būsenos (pvz. invalidas) Sudėtinių palūkanų formulė Tarkim: i – metinės palūkanos, - pradinis investuojamas kapitalas, - k-jų metų pabaigoje investuojamas kapitalas, (investuojama kasmet) Klausimas. Koks kapitalas bus po n metų? draudėjo atveju gali ir nebūti. Paprastai būna nedidelės mėnesinės įmokos . => ir sumuojam => (1) Galimas atvirkščias uždavinys. Diskontas (jo faktorius) . => Formulė dabartinei vertei: (jei po n metų sumokės , tai pinigų vertė esant disk. f. yra ) Gyvybės draudoje yra 2 srautai: • Įmokų srautas • Išmokų Jei srautai ilgalaikiai, tai laiko atžvilgiu reiktų suvienodinti. Ieškomas dydis – dabartinė vertė - nepriklauso nuo laiko. Visos sumos diskontuojamos ir tik tada lyginama. Tolydžiam laike . Perėjimas iš diskr. laiko į tolydų. Nagrinėjame intervalą . : dt čia - kapitalo intensyvumo „tekėjimas“, dt – intervalo ilgis. Gauname dar bendresnį atvejį, priklausantį nuo laiko: kur - palūkanų norma kintanti laike (gali būti ir pastovi) (1) analogas tolydžiam laike: - diskrečiu atveju, - tolydžiu. Tegul (x) – asmuo dabar, kai sudaro sutartį, turintis x metų. T(x) – būsimo gyvenimo trukmė BGT (kiek liko gyventi nuo x). x + T(x) – viso gyvenimo trukmė VGT (a. d.) VGT apibūdinama pasiskirstymo funkcija: 2003.04.11 Capital Asset Pricing Model Ap. Diversifikavimas – investicinio kapitalo išskaidymas į įvairius vertybinius popierius. CAPM modelis – ilgalaikio įkainojimo modelis, įvertinimo modelis. Yra dvi modelio versijos: Black (1972) ir Šarpo – Lintnerio (Sharp – Lintner 1964-65 m.) Skirtumas. Black yra vien akcijos, S – L – dalis obligacijos, banko sąskaita, o likę yra akcijos. Black versija Turim rinkoje n vertybinių popierių (VP). Visi jie rizikingi, t. y. disp > 0. Portfelio struktūra yra tokia, n kišenių , kur . Ar galima skolintis, ar ne? Skolintis negalima, kai . Kitu atveju galima. Grąžos formulės: - vidutinė portfelio grąža - i – tojo portfelio - kaina - portfelio grąža (palūkanos) , , portfeliogrąža interest rate – palūkanų norma, return - grąža (bendriau nei palūkanos), parodo, kokią dalį kapitalo galbūt prarasit. Portfelio dispersija: t formulėje galima ir nerašyti, nes nagrinėjame vieną laiko momentą. Kovariacija – tiesinio ryšio tarp a.d. matas. Jei cov = 0, tai dydžiai tiesikai nepriklausomi. Koreliacija: , Kai cov = 0, cor = 0. Kovariacija ir koreliacija reiškia, kad nagrinėjant bet kokio taško iš funkcijos aplinką, vietoj funkcijos galima imti liestinę, einančią per tą tašką. Rinkoje paprastai kovariacija nėra lygi 0, nes viskas tarpusavyje susiję. Paprastai cov > 0. Taikyti pavyzdį, kai cov = 0 nepavyksta. pažymime matrica . įstrižainėje – dispersijos, nes i = j. Ji simetrinė, eilė rodo vertybinių popierių skaičių. Kuo n didesnis, tuo analizuoti sunkiau. Tarkim jau imant 100 akcijų yra sudėtinga, nes matricai riekia ieškoti atvirkštinę, skaičiuoti determinantą. , - vidutinė grąža iš investicijų - rizika arba sklaida nuo vidurkio. Kuo didesnė , tuo didesnė rizika. - tiesinis sąryšis tarp grąžų. Kiekvienas portfelis bus plokštumos taškas. Kaip nustatyti, kuris portfelis geriausias? Black versijoje siekiama 2 tikslų, kad μ būtų kuo didesnis ir dispersija kuo mažesnė. Idėja. Tarkim pasirinko investuotojas grąžą . Ieško tokio portfelio. Portfeliai turintys tokį priklauso tiesei. Taigi ima su mažiausia rizika, t. y. dispersija. Portfeliai nėra tarpusavyje palyginami. Negalime pasakyti, kada , nes parametrai μ ir σ tarpusavyje nesusieti. Sakoma, kad visi portfeliai priklausantys veiksmingų portfelių kreivei yra vienodai geri. Ekonomikoje taškų sutvarkymui naudojamas leksikografinis būdas. Pavyzdžiui reikia palyginti 2 investicinius projektus pagal 3 kriterijus. Sudaroma lentelė, kad pagal 1 – ą kriterijų geriausias vienas projektas, pagal kitą - kitas, pagal 3 – čią – dar kitas. Žodžiu, vienareikšmiško atsakymo nėra. Turint tokią informaciją parametrus galima gerinti. Tam naudojamas Pareto optimalumas. Šio modelio privalumai ir trūkumai – primityvios charakteristikos. Investuotojui reikia žinoti kreivę. Kaip ją rasti? Turime optimizavimo uždavinį. Ap. Portfelis α, kurio grąžos vidurkis , vadinamas minimalios dispersijos portfeliu (visų portfelių, kurių grąžos vidurkis klasėje), jeigu jo svorių vektorius yra šio optimizavimo uždavinio sprendinys: rasti minimumą pagal visus portfelius α , (1) esant sąlygoms: , , , (kai nubraukia, leidžia skolintis) Literatūroje: constant optimization Apribojimai uždaviniuose būna lygybės ir nelygybės. Su nelygybės tipo apribojimais neišeina gražiai parašyti analitinių formulių, atsakymo. Tai metam juos lauk. Jei minimumas ant „krašto“, tai negalioja, kad išvestinė jame = 0. Todėl kraštus reikia tikrinti atskirai. Lagranžo daugiklių metodas (LDM) LDM leidžia padidinti erdvės dimensiją ir spręsti uždavinį be apribojimų. Jei sprendi ir gauni , tai apribojimai ar jie yra, ar ne, reiškia nieko nekeičia. Pašalinus apribojimą , minimumas tik padidėja, t. y. tai ką rasim arba sutaps su (1) sprendiniu, arba bus didesnis. Susiauriname minimizuojamą klasę. Lagranžianas: Sudarymo principas: δ yra tiek, kiek lygybės tipo apribojimų uždavinyje. Tada * apribojimas1 = 0, *apribojimas2 = 0. Pirmas dėmuo Lagranžiane – optimizuojamas dydis. Sprendžiame uždavinį: . Jei rasim sprendinį, tai jis sutaps su sprendiniu. Receptas: visos dalinės išvestinės minimumo taške = 0. Būtina sąlyga , dar svarbu, kad f-ja būtų iškila. Pirma reikia patikrinti, ar ekstremumo taške f-jos išvest. = 0, o po to ar f-jos iškilumą, t. y. antrų išvestinių matrica turi būti (daugiamačiu atveju). Galima diferencijuoti pjūviais ir tada visom kryptim išv. = 0, o antra išv. . Nustatysime lokalų ekstremumą. Globaliam reikia ieškoti aklai arba remtis kokia nors uždavinio specifika. Mūsų funkcija turi tik vieną minimumą. Atsakymas: , kur , , , , , , , , 1. Susiskaičiuoti grąžas, vidutines grąžas 2. Panaudot optimizavimo paketą (Statistica) Ekonominės išvados: 1. Bet kurie du skirtingi minimalios dispersijos portfeliai generuoja visų minimalios dispersijos portfelių aibę. Taigi kreivės nubrėžimui pakanka žinoti 2 taškus (2 portfelius). 2. Portfelis, sudarytas iš minimalios dispersijos portfelių yra minimalios dispersijos portfelis. 3. Kiekvienam minimalios dispersijos portfeliui α, išskyrus globalųjį, minimalios dispersijos portfelis , toks, kad . Kitaip: kiekvienam portfeliui ant tos kreivės galima rasti kitą portfelį tokį, kad cov = 0. (- nulinio beta portfeliu atžvilgiu α. Žym. β). 4. Bet kuriems 2 portfeliams α ir p, , - portfelio α koeficientas β. Raskime charakteristikos atramines. Ap. Rinkos portfelis – tai rinkoje esančių vertybinių popierių (VP) visuma. Kiek yra VP rinkoje, tokia bus portfelio dimensija. Pvz. 5000. - svoriai. - i- tos rinkos akcijos - kaina Black’o versijos išvada: (1) - i –to VP vidutinė grąža Rizika išskaidoma: 1. Sisteminė (visos šalies rizika); 2. Diversifikuojama (sumažinama išskaidant kapitalą) Koks ryšys tarp atskirų VP ir portfelio? Jei rizika diversifikuojama, tai jos nebėra portfelyje. supaprastintų, kai būtų vienas VP, kurio rizika = 0, t.y. disp. = 0. būna pvz. iždo vekselių grąža apie 3 – 4 %. Jei kapitalas diversifikuotas, tai nėra jame rizikų, o (1) rodo sąryšį tarp ir . Jį parodo β. Pastaba. Reikia p keisti į m ir įrašyti į . Pvz. jei , . Tai sumažės 2 kartus. Kuo β mažesnis, tuo rizika mažesnė. Rinkos stabilumas: Kaip investuoti VP į rinką? Išvados parašytos atvejui, tarsi visi rinkoje naudojasi (1). Jei visi naudotųsi, tada rinkoje atsirastų stabilumas. Reikia žiūrėti, kokio portfelio norėtum ar tikiesi, ir jeigu prognozė nesutampa, tada dalį nereikalingų akcijų reikia parduoti. Finantial times nurodo, kad pelninga sudaryti būtiniausių prekių portfelį. Turime Black: . Tarkim atsiranda nerizikingas VP. Statom vietoj tą nerizikingą, => . Jis tampa beta portfeliu. (1) pereinam prie ekscesinių kintamųjų, atimam ir gaunam: (taip skaičiuojant bus svyravimų padidinimas arba sumažinimas) Sharpo – Lintnerio versija Rinkoje yra n rizikingų popierių ir n + 1 – mas nerizikingas. Jo grąža . Grafikas dabar kitoks: Uždavinys tas pats. Rasti (neįeina nerizikingas) esant sąlygai, Portfelio koordinatės , bet mes vieną išreiškiam per kitas . Lagranžianas: Diferencijuojame: 2003.04.25 Reikia ištirti dar funkcijos išgaubtumą: rasti antrųjų išvestinių matricą, ji turi būti neneigiamai apibrėžta arba t. reikia imti kryptines išvestines. T.y. , x - daugiamatis vektorius. - pirmoji išvestinė, - laisvai renkamės. Minimumas bus tada, kai antros išvestinės taške bus neneigiamos Pastaba. Pasirinkti ir skaičiuoti išvestinę. Imti ne tik koordinatinius vektorius. Jei imtumėm tik koordinatinius vektorius, turėsim matricą ir reiks tikrinti, kad ji būtų neneigiamai apibrėžta. Skaičiuojam išvestines ir gaunam lygtis: Turim n +1 lygtį, nežinomieji ir . (Atsakymas: ) Sprendinys: , , , kur C – kovariacijų matrica, - atskirų VP grąžų vidurkių vektorius, koeficientas , - nerizikingo VP grąža. Taigi, minimalios dispersijos portfeliai yra deriniai rizikingų investicijų portfelio (su svoriais proporcingais ) ir nerizikingos investicijos. Šis rizikingų investicijų portfelis vadinamas liestinės (tangentiniu) portfeliu, o jo svorio vektorius yra toks: Grafiškai: Minimalios dispersijos portfelių kreivė Security market line Iš n rizikų sudarome „debesį“ ir randame min dispersijos portfelius. Brėžiame liestinę. Kreivė gaunama tokiu būdu: imame μα brėžiame tiesę ir ieškome kairiojo taško. Taip perbėgus per visus μ gaunama min dispersijos portfelių kreivė. Kaip atrodo pačios investicijos? Nuo Rf lygio visi geriausi portfeliai yra intervale . Jei yra Rf ir liestinės portfelio derinys. Pats atsargiausias investuotojas investuos į Rf portfelį. Virš Rf bus didesnė grąža, tada dalį kapitalo reikia investuoti į , o kitą - į . Dar didesnės grąžos bus jau einant kreivės nuo lanku. Liestinės portfelis randamas pagal formules. Pvz. Laikom, kad taške – 3 mėn. Iždo vekseliai (treasury bills). Ieškom liestinės portfelio: Tegul visi investuotojai rinkoje naudoja S – L modelį. susiranda => tangentinio (tg) portfelio svoriai. Jei turimi portfeliai nesutampa su tg portfelio svoriais, dalį nereikalingų VP parduoda, perka reikalingus ir t.t. Kinta rinka, kai kurių VP kainos krenta – grąžos didėja. Jei visi laikosi modelio, tada labai tinka artinys S&P500 (šitas yra žinomas, jį stebi ir rodo). Žinant 2 taškus ir reikia pasirinkti μ iš atkarpos. Pagal santykį vieną paketą pikti treasury bills, o kitą iš S&P500. Black ir S-L versijų skirtumas - taškas. Yra dar toks Sharpo santykis. Tarkim turim kokį nors portfelį k. Kampas tgk (Sharp ratio) yra Sharpo santykis. Liestinės portfeliui Sharpo santykis pats didžiausias. Pagrindinė versijos išvada: Rinkos modelis (*) Nulinio β suprantama, kad portfeliai nekoreliuoti, cov = 0. cov ( ir bet kokio kito portfelio) = 0, nes - deterministinis.Taigi - nulinio β portfelis. Black ‘e nulinio β portfelis – tai toks, kuris nekoreliuotas su visais kitais. Ekscesiniai kintamieji įvedami taip: , tada (*) (koordinat. pavidale) β rodo įtaką konkrečiam portfeliui, jei rinkos portfelis svyruoja. Pvz. krito β = 10, tada ir kris 10 k. - rinkos premija už riziką (vid. ekscesinė visos rinkos grąža). Praktiškai: 1. Tikrovėje yra tik duomenys, todėl reikia imti empirinius. Pagal praeitį prognozuoti ateitį galima tik tada, jei yra nusistovėjusi ekonomika. 2. Išsiaiškinti, ar investuotojai laikosi recepto. Jei ne, tai rinkos portfelio negalime imti kaip standartinio. Tokiu atveju reikia ieškoti tangentinio. Statistiškai tai daroma taip: (Įvedame) Turim duomenų eilutę laikas. Abiejų vidurkiai teigiami. Jei turim 500 VP, tai tokių kreivių bus 500. Kuriame modelį: 1. 2. α, β ir (baltas triukšmas) - vektoriai. 3. Vidurkinam: . Kad atsakytumėm, ar laikosi investuotojai recepto, ar ne reikia tikrinti hipotezę: (jei - laikosi) Jei priimam , tai mano portfelis yra tarp . Jei - skaičiuojam tg – nį ir žiūrim, kas yra artinys. Kalbėjom apie vieno laikotarpio modelį. Tam tikra prasme jis yra statistinis. Nesunku jį padaryti dinaminiu (po kažkokio laiko portfelį keisti). Yra ir tokie modeliai: ICAPM, Intertempored CAPM, ATP (vertinimas pagal arbitražą). Arbitrage Pricing Theory ATP siejamas su Ross (1976) – tai paprasčiausias daugiafaktorinis modelis.(Arbitrage Pricing Theory). Modelio ideologija. Grąža modeliuojama taip: Trumpiau: kitaip: - visos rinkos grąžų vektorius - konstantų vektorius B – jautrumų veiksniams matrica - veiksnių vektorius - triukšmų vektorius Kokie ir kiek veiksnių? Kokios modelio išvados? Kas nuo ko priklauso? Veiksniai, lemiantys modelį, priklauso nuo valstybės. JAV svarbiausi veiksniai: 1. vyriausybės palūkanų normų skirtumas tarp ilgalaikių ir trumpalaikių obligacijų. 2. numatoma infliacija 3. nenumatyta infliacija 4. pramonės produkcijos augimas 5. korporacijų ilgalaikių ir trumpalaikių obligacijų palūkanų normų skirtumai Išvada: ◦ , čia - veiksnių rizikos premijų vektorius. Jei yra nerizikingas popierius, tai Reikia po metų išmokėt 100 Lt. Jeigu r – atsitiktinė palūkanų norma, tai kiek reikia padėti dabar? Tegul L – atsitiktinis, t.y. neaišku, kiek reiks išmokėt. Kaip daryti tokius paskaičiavimus finansinėj rinkoj? Opcionai Opcionai – tai pasirinktinis sandoris. Jame dalyvaujant reikia mokėti, o sandorį galima vykdyti, galima nevykdyti. Ap. Opcionu vadinamas sandoris, pagal kurį viena iš pusių įgyja teisę pirkti arba parduoti finansinį kapitalą ar prekę fiksuota kaina fiksuotam laiko intervale. Kita pusė už tam tikrą mokestį įpareigojama vykdyti sandorio sąlygas. Opcionai veikia pagrindinių VP bazėje. Būna pirkimų – pardavimų, europiniai ir amerikietiški opcionai ir kt. European Call Option – Europos pirkimo opcionas. Charakteristikos: 1. Trukmė – laikas nuo paskelbimo iki realizavimo dienos. (g.b. 3, 6, 9 mėn.) 2. Aktyvo (perkės) kaina, už kurių parduodama. K – tai fiksuota akcijos kaina. (auksui – aukso kursas, valiutai – valiutos kursas) 3. Opciono įmoka (premium) C – ją moka norintis dalyvauti. T – laikas, kada bus realizuotas opcionas C – prašoma pradinė įmoka, C K, tada jis perka akcijas ir išlošia St – K. Atvirkščiu atveju – neperka. C susimokėjimas duoda teisę, atėjus laikui T, pirkti akciją. Pirkėjo balansas (pinigai): (St – K)+ - C Amerikos opcioną galima realizuoti bet kada, o europietišką ne. Vienas svarbiausių opciono elementų – drauda. Variantas: min (St, K) – mokate minimumą. Yra ir dvigubas aukcionas – pirkimo ir pardavimo vienu metu su tomis pačiomis charakteristikomis. Tarkim . Opcionu galima padaryti valiutinį koridorių: Pardavėjui opcionas naudingas, kol valiutos kursas neišeina iš [A, B] ribų. Pirkėjui naudingas išėjimas. Realiai koridoriai labai siauri. Uždavinys: Imkime europinį opcioną. Kokią kainą C ir K turi skelbti pardavėjas? Kaip jos susiję? Ar yra toks racionalus argumentas, kad sandoris būtų racionalus? T.y. būtų idealus opcionas – be nuostolių ir be pelno. P – įmoka - grynoji išmoka Z – išmoka Tarkim K nustatytas. Kokius veiksmus turi atlikti pardavėjas, gavęs pinigus C, kad jam nebūtų nuostolio? Reikia taip investuoti į finansų rinką, kad atėjus laikui būtų tiksliai dubliuojama išmoka. Europiniam pirkimo opcionui buvo parašytas modelis. Autoriai – Black – Scholes (1973 m.). Patobulino Merton (1973 m.) ir 2 paskutiniai gavo Nobelio premiją. Modelinė rinka susideda iš 2 elementų: banko sąskaitos ir akcijos kainos. r – palūkanų norma (teigiama ir pastovi) b – teigiama konstanta t – laikas σ (volability) – akcijos kainos sklaida (teigiama konstanta) Wt – Brown’o judesys - banko sąskaitoj esantys pinigai - padėta suma , Pokyčių skirstiniai – normalieji, Wtσ modeliuoja akcijos kainos svyravimą, b > r visais atvejais. b – r – atspindi premiją už riziką, b apibūdina ilgalaikę tendenciją. VP kainos kinta eksponentiškai. 2003.05.02 Kaip nustatome įmoką C? Skirtumas tarp draudos ir šio modelio: čia investuotojas atiduoda pinigus C ir jie tampa paradvimo investicija, o kai ateina laikas, jis, jei įmanoma, dubliuoja išmoką. Draudoje nėra to dubliavimo. Dubliavimas – hedging Idėja: pardavėjas, gavęs pinigus C ir parinkęs tam tikrą modelį, iš tikro gali dubliuoti išmoką pirkėjui. Pirmasis modelis sukurtas 1973 m. ir naudojamas iki šių dienų. Turim: (B, S) – rinka (bond, stock), laikas tolydus – banko sąskaita – akcijos kaina r (palūkanos), b, σ – konstantos – standartinis Brown’o judesys μt turi būti didesnis už rt ekonomine prasme. Kuo σ didesnis, tuo labiau svyruoja kainos. Kadangi laikas tolydus, todėl užsirašo eksponentiškai: , diskrečiu atveju (čia r nėra lygūs). Akcijos kaina modeliuojama būtent taip (eksponentė + Vinerio modelis), nes per ilgą laiką buvo pastebėtas eksponentinis kainos augimas. Prisimename grąžą: Vinerio procese: Pažymime Žingsnis Δ turėtų būti daugiau nei mėnuo.Šis modelis užrašytas matematiškai, tačiau ekonomikoje buvo daug samprotavimų, kurie vėliau „nubyrėjo“, nes atrodė nereikšmingi. Tai vienas iš nedaugelio modelių, kurie turi atsakymą. Klausimas. Kaip pasirinkti c? Reikia imti tokį c, kad geriausiu atveju būtų galima dubliuoti išmoką. Tai teoriškai. Praktiškai kainos skirsis, nes rinkoje yra padaryta nerealių prielaidų: 1. Rinka yra be trinties, 2. operacijos atliekamos žaibiškai. Kaip dubliuojama? Perrašome modelį dif. lygtimis: Ekonomiškai: Pažymine – pinigų skaičius banko sąskaitoje laiko momentu t ­– akcijų skaičius Portfelio vertė: (VP sk. dauginame iš jų kainos ir sudedame) Pažymime funkciją: – deterministinė 2 argumentų funkcija f – opciono vertė momentu t T – t – tiek laiko liko iki opciono pabaigos nuliniu laiko momentu Opciono pabaigoje bus: Portfelio vertė (portfelio vertė = opciono vertei) Vinerio procesas neturi išvestinės, jis turi tik apibendrintą išvestinę – baltą triukšmą. Jei darome, kad toks portfelis egzistuoja ir jį dubliuojam, tai tada ir diferencialai lygūs Ieškom : lyginame narius: 1) 2) dingsta stochastika, atsakymas – deterministinis. Vietoj S gali būti x: Atsakymas (tik įdomumo dėlei): Čia labai sudėtinga, o lengva diskrečiam laike. Bus toliau. – baigtinė aibė F – visų poaibių σ algebra Trinominis medis: – gaunam 27, sustojam 3 – am taške. Rinkos modelis diskrečiam taške Nagrinėjam (B, S) rinką. ρ – akcijos grąža Grubiausiuose modeliuose: VP rinkoje nėra arbitražo. Bet koks modelis turi būti nearbitražinis. Tarkim turi kažkokį kapitalą, kurį investuojam į rinką. Nusiperkam kažkokį portfelį . , k – kapitalas, kurį turim. Toks portfelis yra arbitražinis, t.y. kai kapitalas tik didėja. Kaip patikrinti, ar nėra arbitražo? Arbitražo nebuvimo kriterijus: egzistuoja tikimybinis matas - martingalas – tai atsitiktinė seka, kai 2003.05.09 Pati paprasčiausia rinka – tai (B, S) rinka. – banko sąskaita (modeliuojama fiksuotomis palūkanomis) – kaina turi būti atsitiktinis, kad gautumėm atsitiktinį modelį. (binominis atsitiktinis dydis) Galimos 2 galimybės: 1. akcijų kaina gali sumažėt 2. akcijų kaina gali padidėt Interpretacija (prirašo tikimybes): būtų koncentruoti 2–se taškuose (rinkos ekspertų ir dalyvių nuomonės) Jie nesutaria dėl p – tikimybės, o sutaria dėl r, 1 + a, 1 + b. Kokia čia bus grąža? Šis modelis labai grubus, nes tik 2 reikšmės. Daug kas priklauso nuo laiko žingsnio. Imant mažus laiko žingsnius galima gauti gerą modelį, neprastesnį kaip Black – Scholes. Reikia sukonstruoti Binominis medis (binomial tree) Pagal modelį gali turėti 2 galimybes ir t.t. Vieną kartą didėjo, kitą mažėjo, todėl šakos „sulimpa“ ir todėl, kad imam a ir b pastovius. Imant kintančius atsirastų 2n „nesulipusių“ šakų. Braižant tikrąsias reikšmes, gautumėm kiek kitokį grafiką: Nulio per baigtinį laiką nepasieks. Braižome grafą: Stato vietoj x – sų 1+a arba 1+b ir gauna visus įmanomus variantus. (arba priėjimus iki w) Variantų išraiškos sutampa Per 3 laiko vienetus – šakų. bus visos šakos, jų skaičius priklauso nuo laiko intervalo. Jei , tai Ap. Skirtingos šakos – tai tos, kurios skiriasi bent viena maža dalele. Šakom priskiria . Dėl sulipimo dalis šakų paslepiama. – tai informacija apie kainų kaitą iki momento n. – liktų tik bendra dalis, t.y. išvengiant informacijos dubliavimo apie kainų kaitą iki momento n. – visa informacija apie modelį. Modelis labai paprastas – tik 1–a akcija ir 1 obligacija. Daugiamačiu atveju atsirastų matricos. S0 stebime, jis turi tik 1– ą kainą. Jei nėra stochastikos (atsitiktinumo), tai kaip tai suderinama su ? (Čia atsiranda nulinio mato aibės) Sąlyginis vidurkis sutampa atveju su vidurkiu.

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!