Šilumos laidumo uždavinys su atvirkštine laiko tėkme

VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS FUNDAMENTINIŲ MOKSLŲ FAKULTETAS MATEMATINIO MODELIAVIMO KATEDRA ŠILUMOS LAIDUMO UŽDAVINYS SU ATVIRKŠTINE LAIKO TĖKME Nekorektiškų uždavinių sprendimas kursinis darbas 2007 1. Įvadas Matematinis modeliavimas yra svarbus ir naujas žinių gavimo būdas, kuris vis dažniau yra naudojamas sprendžiant technologinius uždavinius, tiriant gamtos ir socialinius procesus. Taikant šį metodą naudojame naujausius matematinius pasiekimus, kurie leidžia išspresti rimtas šiuolaikines problemas. 2. Uždavinio formuluotė: Darbo tikslas- realizuoti ir atlikti bandymus su nekorektišku šilumos laidumo uždaviniu su atvirkštine laiko tėkme. Nubraižyti grafikus. 3. Šilumos laidumo uždavinys Šilumos laidumo uždavinyje nagrinėjame šilumos tvermės lygtį. Remiamės tokiomis prielaidomis: 1. Šiluminė energija niekur nedingsta ir nesukuriama srities viduje. 2. Šilumos srautas per bet kurios srities paviršiu˛ yra proporcingas temperatūros u(x; t) gradientui, k yra difuzijos koeficientas. Taigi, Gauname diferencialinę lygtį: Žinome, kad temperatūra strypo galuose yra pastovi, lygi 0 (L- strypo ilgis): u(0,t)=0 , u(L,t)=0 Pradinis temperatūros pasiskirstymas: u(x,0)=φ(x) Uždavinys yra korektiškas, o jo sprendinį galime rasti Furjė metodu: Koeficientus an gauname skleidžiant pradinę sąlygą Furjė eilute: Galime teigti, kad kuo aukštesnė skleidinio harmonika (t.y. kuo didesnis numeris n), tuo greičiau mažėja koeficientas prie sin(πnx), kai t didėja. Todėl sprendinys u(x; t) tampa vis glodesniu, o lokalieji ekstremumai susilygina su gretimų taškų temperatūromis. 4. Šilumos laidumo uždavinys su atvirkštine laiko tėkme Šiuo atvėju žinome temperatūros pasiskirstymo funkcija laiko momentu t=T: u(x,T)=ψ(x) Reikia rasti temperatūros pasiskirstymą pradiniu momentu φ(x). Šiuo atveju laikas kinta atvirkščia, mažėjimo, kryptimi. Tokio uždavinio sprendinį irgi randame Furjė metodu: Koeficientus bn gauname skleidžiant Furjė eilute funkcija ψ(x): Jeigu turime ne tikslia ψ(x), o tik jos artinį ψδ(x): kur || · || pažymėjome L normą, tai gali ir neegzistuoti tokia tolydi funkcija φδ(x) , kad išsprendus šilumos laidumo uždavinį su tiesiogine laiko tėkme, būtų išpildyta lygybė: Jeigu tokia funkcija ir egzistuoja, tai sprendiniui neišpildyta sąlyga apie tolydžią jo priklausomybę nuo pradinių duomenų. Maži koeficiento bn pokyčiai padidėja iki labai didelių reikšmių laiko momentu t=0. Taigi šis uždavinys nėra korektiškas. Naudodami lygties pakeitimo metodą, vietoj šilumos laidumo lygties spręsime lygtį: Parametras α yra priklausomas nuo pradinių duomenų tikslumu δ: α=α(δ) Taikydami Furjė metodą, gauname tokius šilumos laidumo uždavinio atgaline laiko tėkme sprendinius: 5. Šilumos laidumo uždavinys su atvirkštine laiko tėkme realizavimas Maple pagalba: > restart: with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined > silumos_lygtis:=(k,alpha)->k*diff(u(x,t),x,x)+alpha*diff(u(x,t),x,x,x,x)=diff(u(x,t),t): silumos_lygtis(k,alpha); u(0,t)=0; u(L,t)=0; u(x,T)=psi(x); > coef:=proc(psi,L,n::integer) local x,b; b:=2*int(psi(x)*sin(n*Pi*x/L),x=0..L)/L; RETURN(b); end: > psi:=x->piecewise(x

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!